478. 在圆内随机生成点 : 圆内等概率随机采样

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题目描述

这是 LeetCode 上的 478. 在圆内随机生成点 ，难度为中等。

Tag : 「数学」、「随机化」

给定圆的半径和圆心的位置，实现函数 randPoint，在圆中产生均匀随机点。

实现 Solution 类:

Solution(double radius, double x_center, double y_center) 用圆的半径 radius 和圆心的位置 $(x_center, y_center)$ 初始化对象
randPoint() 返回圆内的一个随机点。圆周上的一点被认为在圆内。答案作为数组返回 $[x, y]$ 。

示例 1：

输入: 
["Solution","randPoint","randPoint","randPoint"]
[[1.0, 0.0, 0.0], [], [], []]
输出: [null, [-0.02493, -0.38077], [0.82314, 0.38945], [0.36572, 0.17248]]

解释:
Solution solution = new Solution(1.0, 0.0, 0.0);
solution.randPoint ();//返回[-0.02493，-0.38077]
solution.randPoint ();//返回[0.82314,0.38945]
solution.randPoint ();//返回[0.36572,0.17248
复制代码

提示：

$0 < radius <= 10^8$
$-10^7 <= x_center, y_center <= 10^7$
randPoint 最多被调用 $3 \times 10^4$ 次

等概率随机采样

为了方便，我们称圆心为 $(x, y)$ ，半径为 $r$ 。

对给定圆内的点进行等概率随机采样，容易想到随机化两个信息：一个是距离圆心的距离 len（在范围 $[0, r]$ 中进行随机），另外一个是夹角 ang（在范围 $[0, 2\pi]$ 中随机，随便找个参考线即可，例如以往 $x$ 轴正方向的射线为参考）。

然后根据 len 和 ang 直接计算对应的点的坐标，这样 可以确保随机出来的点一定在圆内，但并非「等概率」。

在不考虑夹角的情况下，我们本质是在 $[0, r]$ 范围内随机，这在「一维」上「等概率」是成立的，因为满足「任意连续段中点被抽到的次数与总次数的比例」与「该连续段长度与总长度的比例」。

但在圆中并非如此，不考虑夹角时，「任意连续段 len 与总长度 r 的比例」和「len 对应面积与总面积比例」并不相等。例如 len 有 $\frac{1}{2}$ 的概率取到小于等于 $\frac{r}{2}$ 的值，而半径为 $\frac{r}{2}$ 扫过的面积仅为总面积的 $\frac{1}{4}$ ，因此我们的 len 不能直接在 $[0, r]$ 范围内随机，为了消除这种一维转圆导致的「等概率」失效，我们可以从 $[0, r^2]$ 内随机再开平方，从而确保距离与面积比例一致。

代码：

class Solution {
    double r, x, y;
    Random random = new Random();
    public Solution(double _r, double _x, double _y) {
        r = _r; x = _x; y = _y;
    }
    public double[] randPoint() {
        double len = Math.sqrt(random.nextDouble(r * r)), ang = random.nextDouble(2 * Math.PI);
        double nx = x + len * Math.cos(ang), ny = y + len * Math.sin(ang);
        return new double[]{nx, ny};
    }
}
复制代码

时间复杂度： $O(1)$
空间复杂度： $O(1)$

最后

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