简 介： 根据信号与系统答疑过程中，学生对于三角形信号卷积结果的疑惑，给出了相应的数值、理论、以及频谱分析的解答。特别是后面频谱分析部分也是由另外参加答疑的同学提出的。之所以这个题目会产生疑问，主要原因来自于卷积计算“图解法”所带来的误导。 图解方法只能帮助确定卷积的阶段和积分上下限，求解卷积结果还是需要根据实际信号函数进行计算。
关键词： 信号与系统，卷积，三角脉冲信号
§01 三角波卷积
一、答疑碰到的问题
这两天信号与系统期末考试答疑中，多次碰到学生询问起一个课堂练习的习题。也就是为什么两个等腰三角形的卷积是答案（C）：一个类似于升余弦的光滑曲线，而不是答案（B）一个尖顶的脉冲。此时才意识到这个问题的确有和直觉相违背的地方。
▲ 图1.1.1 三角波与自身的卷积波形：选择题
通过分析，造成判断错误的来源，实际上是误用了求解卷积过程中的“图解法”。 图解方法通过把卷积的数学运算转换成信号波形的变化，帮助确定卷积阶段和积分的上下限。但往往也会对卷积结果产生误导，即部分同学会将两个图像重叠对应的图像面积当做求解的结果，但这种情况只能发生在一个信号是常量的情况。
▲ 图1.1.2 对于简单信号所使用的图解方法
二、问题分析
这两天答疑过程中，学生也给出了对于这个问题很好的解释。下面给出相应的总结：
1、数值求解
下面是通过数值求解反映的 一些等腰三角形与其自身卷积的结果，结果说明了两个等腰三角学卷积的确是一个一阶导数光滑的曲线。
▲ 图1 三角波与三角波相互卷积
2、理论分析
对于这类有限长度的简单信号，在求解它们之间相互卷积的时候，同时使用“图解法”帮助确定积分的区间。由于两个三角波形自身都具有两个变化阶段一个是上升阶段，一个是下降阶段。它们的长度相同，所以通过简单分析可以知道这两个三角波卷积过程，它们重合情况可以分成四个阶段，如下图所示。 当 t t t 不在这四个阶段的时候，两个三角形不重合，卷积结果为 0。
▲ 图1.2.2 卷积过程中四个不同的重叠阶段
由于参与卷积的信号左右对称，所以只需要对于第一、第二阶段进行求解；然后将结果偶对称得到信号在 t > 0 t > 0 t>0 之后的结果。
（1）第一个阶段
在 t ∈ ( − 2 , 1 ) t \in \left( { - 2,1} \right) t∈(−2,1) 时，两个三角形的重叠范围是 [ − 1 , t + 1 ] \left[ { - 1,t + 1} \right] [−1,t+1] 。此时对应的卷积运算为 f ( t ) ∗ f ( t ) = ∫ − 1 t + 1 − ( τ − t − 1 ) ⋅ ( τ + 1 ) d τ f\left( t \right) * f\left( t \right) = \int_{ - 1}^{t + 1} { - \left( {\tau - t - 1} \right) \cdot \left( {\tau + 1} \right)d\tau } f(t)∗f(t)=∫−1t+1−(τ−t−1)⋅(τ+1)dτ = ∫ − 1 t + 1 ( − τ 2 + t ⋅ τ + t + 1 ) d τ = \int_{ - 1}^{t + 1} {\left( { - \tau ^2 + t \cdot \tau + t + 1} \right)d\tau } =∫−1t+1(−τ2+t⋅τ+t+1)dτ = − 1 3 τ 3 ∣ − 1 t + 1 + t 2 τ 2 ∣ − 1 t + 1 + ( t + 1 ) ⋅ ( t + 2 ) = \left. { - {1 \over 3}\tau ^3 } \right|_{ - 1}^{t + 1} + \left. { {t \over 2}\tau ^2 } \right|_{ - 1}^{t + 1} + \left( {t + 1} \right) \cdot \left( {t + 2} \right) =−31τ3∣∣∣∣−1t+1+2tτ2∣∣∣∣−1t+1+(t+1)⋅(t+2) = − 1 3 [ ( t + 1 ) 3 − 1 ] + t 2 [ ( t + 1 ) 2 − 1 ] + ( t + 1 ) ⋅ ( t + 2 ) = - {1 \over 3}\left[ {\left( {t + 1} \right)^3 - 1} \right] + {t \over 2}\left[ {\left( {t + 1} \right)^2 - 1} \right] + \left( {t + 1} \right) \cdot \left( {t + 2} \right) =−31[(t+1)3−1]+2t[(t+1)2−1]+(t+1)⋅(t+2) = t 3 6 + t 2 + 2 t + 4 3 = { {t^3 } \over 6} + t^2 + 2t + {4 \over 3} =6t3+t2+2t+34
这个求解化简过于繁琐，使用Python中的符号求积分软件包可以帮助进行求解
t,T = symbols('t,T')
result = integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,-1,t))
（2）第二阶段
在 t ∈ ( − 1 , 0 ) t \in \left( { - 1,0} \right) t∈(−1,0) ，参与卷积的信号重叠方式为如下图所示，重叠区域为 ( − 1 , t + 1 ) \left( { - 1,t + 1} \right) (−1,t+1) 。
▲ 图1.2.3 在第二阶段两个三角形重叠以及求解积分过程
按照信号不同的分段，求解积分需要分成三个区域，它们分别是 ( − 1 , t ) , ( t , 0 ) , ( 0 , t + 1 ) \left( { - 1,t} \right),\left( {t,0} \right),\left( {0,t + 1} \right) (−1,t),(t,0),(0,t+1) 。
在区域 ( − 1 , t ) \left( { - 1,t} \right) (−1,t) 中积分表达式为 ∫ − 1 t ( τ − t + 1 ) ⋅ ( τ + 1 ) d τ = t 3 6 − t 2 − 1 3 \int_{ - 1}^t {\left( {\tau - t + 1} \right) \cdot \left( {\tau + 1} \right)d\tau } = { {t^3 } \over 6} - {t \over 2} - {1 \over 3} ∫−1t(τ−t+1)⋅(τ+1)dτ=6t3−2t−31
在区域 ( t , 0 ) \left( {t,0} \right) (t,0) 中的积分表达式为 ∫ t 0 − ( τ − t − 1 ) ⋅ ( τ + 1 ) d τ = − t 3 6 − t 2 − t \int_t^0 { - \left( {\tau - t - 1} \right) \cdot \left( {\tau + 1} \right)d\tau = - { {t^3 } \over 6} - t^2 - t} ∫t0−(τ−t−1)⋅(τ+1)dτ=−6t3−t2−t
在区域 ( 0 , t + 1 ) \left( {0,t + 1} \right) (0,t+1) 的积分表达式为 ∫ 0 t + 1 − ( τ − t − 1 ) ⋅ ( − τ + 1 ) d τ = ( − t + 2 ) ( t + 1 ) 2 6 \int_0^{t + 1} { - \left( {\tau - t - 1} \right) \cdot \left( { - \tau + 1} \right)d\tau } = { {\left( { - t + 2} \right)\left( {t + 1} \right)^2 } \over 6} ∫0t+1−(τ−t−1)⋅(−τ+1)dτ=6(−t+2)(t+1)2
将上面三个积分结果合并在一起，可以得到在此区间内卷积的结果 f ( t ) ∗ f ( t ) = − t 3 2 − t 2 + 2 3 f\left( t \right) * f\left( t \right) = - { {t^3 } \over 2} - t^2 + {2 \over 3} f(t)∗f(t)=−2t3−t2+32
t,T = symbols('t,T')
result = integrate(-(T-t-1)*(-T+1),(T,0,t+1)) +\
integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,t,0)) +\
integrate((T-t+1)*(T+1),(T,-1,t))
result = simplify(result)
（3）卷积完整解
合并前面求解的第一、第二阶段的公式，将它们进行反褶之后，便可以得到第三、第四阶段的公式。最终三角形卷积的结果为：
（4）数值验证
下面使用Python对上述公式进行绘制，查看卷积结果的信号波形。
def w(t,t1,t2):
return heaviside(t-t1, 0.5) - heaviside(t-t2, 0.5)
def f1(t):
return t**3/6 + t**2 + 2*t + 4/3
def f2(t):
return -t**3/2 - t**2 + 2/3
def f(t):
return f1(t) * w(t, -2, -1) +\
f2(t) * w(t, -1, 0) +\
f2(-t) * w(t, 0, 1) +\
f1(-t) * w(t, 1, 2)
t = linspace(-2, 2, 500)
fdim = f(t)
plt.plot(t, fdim)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
▲ 图1.2.4 绘制出的结果
3、傅里叶变换
可以利用傅里叶变换卷积定理，分析两个三角脉冲信号的卷积。对于高度为 1，宽度为 2 的对称等腰三角型，对应的频谱为 F ( ω ) = S a 2 ( ω 2 ) = sin 2 ( ω 2 ) ( ω 2 ) 2 = 4 sin 2 ( ω 2 ) ω 2 F\left( \omega \right) = Sa^2 \left( { {\omega \over 2}} \right) = { {\sin ^2 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\left( { {\omega \over 2}} \right)^2 }} = { {4\sin ^2 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\omega ^2 }} F(ω)=Sa2(2ω)=(2ω)2sin2(2ω)=ω24sin2(2ω) 那么它们卷积对应的傅里叶变换为 F 12 ( ω ) = S a 4 ( ω 2 ) = sin 4 ( ω 2 ) ( ω 2 ) 4 = 16 sin 4 ( ω 2 ) ω 4 F_{12} \left( \omega \right) = Sa^4 \left( { {\omega \over 2}} \right) = { {\sin ^4 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\left( { {\omega \over 2}} \right)^4 }} = { {16\sin ^4 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\omega ^4 }} F12(ω)=Sa4(2ω)=(2ω)4sin4(2ω)=ω416sin4(2ω)
当然，直接从上面结果进行傅里叶反变换求解卷积时域表达式也比较麻烦，不过它可以告诉我们，卷积结果的频谱幅度衰减的规律应该是 1 / ω 4 1/\omega ^4 1/ω4。再由信号波形的光滑性与频谱衰减之间的关系可知，卷积结果应该是满足二阶导数连续。 由此也可以帮助判断在选择题中，只有答案（C）能够满足二阶导数连续的要求，其它三个信号波形对应的一阶导数都不连续。
※ 总 结 ※
根据信号与系统答疑过程中，学生对于三角形信号卷积结果的疑惑，给出了相应的数值、理论、以及频谱分析的解答。特别是后面频谱分析部分也是由另外参加答疑的同学提出的。
之所以这个题目会产生疑问，主要原因来自于卷积计算“图解法”所带来的误导。 图解方法只能帮助确定卷积的阶段和积分上下限，求解卷积结果还是需要根据实际信号函数进行计算。
直接求取结果需要较多的积分化简，利用Python符号积分软件可以帮助求解结果的解析表达式。
● 相关图表链接: