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416. 分割等和子集
思路
(动态规划) O(n * m)
给定一个只包含正整数的非空数组 nums[]，判断是否可以将这个数组分割成两个子集，并且每个子集数字的和恰好等于整个数组的元素和的一半。
样例：
如样例所示，nums = [1,5,11,5]，数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]，因此返回ture。从题意来看，这个问题可以转换成0-1背包问题，如何看出来的？ 我们不妨将换种表述方式：
将大小为n的数组看成n件物品，数组元素和sum的一半看成一个容量为sum / 2的背包， 每件物品只能使用一次，每件物品的体积是nums[i]，求解是否可以选出一些物品，使得这些物品的总体积恰好为背包的容量，因此可以使用动态规划求解，下面我们来讲解具体做法。
首先，如果sum 是奇数，则不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，因此直接返回false。接下来我们去定义状态表示和推导状态转移方程。
状态表示： f[i][j]表示从前i个数中选若干个数，是否使得这些数字的和恰好等于j。因此f[i][j]有两种状态，true或者false。
状态计算:
假定nums[]数组下标从1开始，如何确定f[i][j]的值？
一般去考虑最后一步，那么对于当前的数字 nums[i]，可以选取也可以不选取:
- 1、不选
nums[i]，那么我们就从前i - 1个数中选，看是否使得这些数字的和恰好等于j，即f[i][j] = f[i - 1][j]。 - 2、选择
nums[i]，在背包可以装下的情况下，那么相应的背包容量就要减去nums[i],f[i][j]的状态就可以从f[i - 1][j - nums[i]]转移过来，即f[i][j] = f[i - 1][j - nums[i]]。
综上，两种情况只要有一个为true，那么f[i][j]就为true。因此状态转移方程为f[i][j] = f[i - 1][j] | f[i - 1][j - nums[i]]。
初始化：
f[0][0] = true：在前0个数中，我们可以一个数都不去选，因此从前0个数中选，使得这些数字的和恰好等于0的状态为true，其余的状态都初始化为false。
实现细节：
在推导状态转移方程时，我们假设的nums[]数组下标是从1开始的，而实际中的nums[]数组下标是从0开始的，因此在代码的编写过程中，我们需要将所有nums[i]的下标减去 1，与使用的语言保持一致。
时间复杂度分析: O(n * m)，n是nums数组的大小，m数组元素和的一半。
空间复杂度分析： O(n * m)
c++代码
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int n = nums.size(), sum = 0;
for(int x : nums) sum += x;
if(sum % 2) return false;
int m = sum / 2;
vector<vector<bool>> f(n + 1, vector<bool>(m + 1, false));
f[0][0] = true;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
if(j >= nums[i - 1]) f[i][j] = f[i - 1][j - nums[i - 1]] | f[i - 1][j];
else f[i][j] = f[i - 1][j];
}
}
return f[n][m];
}
};
java代码
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
int n = nums.length, sum = 0;
for(int x : nums) sum += x;
if(sum % 2 != 0) return false;
int m = sum / 2;
boolean[][] f = new boolean[n + 1][m + 1];
f[0][0] = true;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
if(j >= nums[i - 1]) f[i][j] = f[i - 1][j - nums[i - 1]] || f[i - 1][j];
else f[i][j] = f[i - 1][j];
}
}
return f[n][m];
}
}
一维优化
我们可以发现，在计算 f[i][j]的过程中，每一行f[i][j]的值只与上一行的f[i - 1][j]有关，因此考虑去掉前一维，状态转移方程为：f[j] = f[j] | f[j - nums[i]]。
如果此时我们继续考虑第二层循环j从小往大计算，即：
for (int i = 1; i <= n; i++){ //为了下标对应，实际nums[i]应取nums[i - 1]
for (int j = nums[i]; j <= m; j++){
f[j] = f[i] | f[j - nums[i]];
}
}
此时的状态便与二维的状态不等价了，因为在计算第i层的状态时，我们从小到大枚举， j - nums[i]严格小于j，那么f[j-nums[i]]一定会先于f[j]被计算出来，于是我们计算出来的f[j - nums[i]]仍为第i层状态，这样f[j - nums[i]]等价于f[i][j-nums[i]] ，实际上f[j - nums[i]]应该等价于f[i - 1][j - nums[i]]。
为了解决这个问题只需要将j从大到小枚举。
for (int i = 1; i <= n; i++){ //为了下标对应，实际nums[i]应取nums[i - 1]
for (int j = m; j >= nums[i]; j -- ){
f[j] = f[i] | f[j - nums[i]];
}
}
因为我们从大到小枚举j，而 j - nums[i]严格小于j，于是我们在计算f[j] 的时候f[j - nums[i]]还未被第i层状态更新过，那么它存的就是上一层(i - 1层)的状态，即f[i - 1][j - nums[i]]。
空间复杂度分析： O(n)
c++代码
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int n = nums.size(), m = 0;
for (int x: nums) m += x;
if (m % 2) return false;
m /= 2;
vector<bool> f(m + 1);
f[0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= nums[i - 1]; j -- )
f[j] = f[j] | f[j - nums[i - 1]];
return f[m];
}
};
437. 路径总和 III
思路
(dfs) O(n^2)
我们遍历每一个节点 node，搜索以当前节点node为起始节点往下延伸的所有路径，并对路径总和为 targetSumtarget的路径进行累加统计。
时间复杂度分析： 遍历整颗树需要O(n)的时间，搜索每条路径需要O(n)的时间，故总的时间复杂度为O(n^2)。
c++代码
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* TreeNode *left;
* TreeNode *right;
* TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
* TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
* TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
* };
*/
class Solution {
public:
int res = 0;
int pathSum(TreeNode* root, int targetSum) {
if(!root) return 0;
dfs(root, targetSum);
pathSum(root->left, targetSum);
pathSum(root->right, targetSum);
return res;
}
void dfs(TreeNode* root, int sum){
if(!root) return ;
sum -= root->val;
if(!sum) res++;
dfs(root->left, sum);
dfs(root->right, sum);
}
};
(前缀和 + 哈希) O(n)
求出二叉树的前缀和，统计以每个节点node节点为路径结尾的合法路径的数量，记录一个哈希表cnt，维护每个前缀和出现的次数。
对于当前节点root，前缀和为cur，累加 cnt [cur - sum]的值，看看有几个路径起点满足。
递归函数设计：
void dfs(TreeNode* root, int sum, int cur)
root是当前遍历的节点，sum是目标数，cur是当前经过的路径之和。
如下图：
时间复杂度分析： 树中的每个节点被遍历一遍，故时间复杂度为O(n)。
c++代码
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* TreeNode *left;
* TreeNode *right;
* TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
* TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
* TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
* };
*/
class Solution {
public:
unordered_map<int, int>cnt;
int res = 0;
int pathSum(TreeNode* root, int targetSum) {
cnt[0] = 1; //前缀和0出现了一次
dfs(root, targetSum, 0);
return res;
}
void dfs(TreeNode* root, int sum, int cur){
if(!root) return ;
cur += root->val;
res += cnt[cur - sum];
cnt[cur]++;
dfs(root->left, sum, cur), dfs(root->right, sum, cur);
cnt[cur]--;
}
};
438. 找到字符串中所有字母异位词
思路
(滑动窗口，哈希表) O(n)
1、定义两个哈希表hs，hp，hs哈希表维护的是s字符串中滑动窗口中各个字符出现多少次，ht哈希表维护的是t字符串各个字符出现多少次。
2、定义两个指针j和i，j指针用于收缩窗口，i指针用于延伸窗口，则区间[j,i]表示当前滑动窗口。首先让i和j指针都指向字符串s开头，然后枚举整个字符串s ，枚举过程中，不断增加i使滑动窗口增大，相当于向右扩展滑动窗口。
3、每次向右扩展滑动窗口一步，将s[i]加入滑动窗口中，而新加入了s[i]，相当于滑动窗口维护的字符数加一，即hs[s[i]]++。
4、当hs[s[i]] > hp[s[i]时，说明hs哈希表中s[i]的数量多于hp哈希表中s[i]的数量，此时我们就需要向右收缩滑动窗口，j++并使hs[s[j]]--，即hs[s[j ++ ]] --。
5、当i - j + 1 == p.size()，我们将起始索引j加入答案数组中。
时间复杂度分析： O(n)
c++代码
class Solution {
public:
vector<int> findAnagrams(string s, string p) {
unordered_map<char, int> hs, hp;
for(int c : p) hp[c]++;
vector<int> res;
for(int i = 0, j = 0; i < s.size(); i++){
hs[s[i]]++;
while(hs[s[i]] > hp[s[i]]) hs[s[j++]]--;
if(i - j + 1 == p.size()){
res.push_back(j);
}
}
return res;
}
};