【题目链接】
ybt 1306：最长公共子上升序列
OpenJudge NOI 2.6 2000:最长公共子上升序列
【题目考点】
1. 动态规划：线性动规
- 最长上升子序列
- 最长公共子序列
【解题思路】
解法1：基本解法
结合求最长上升子序列和最长公共子序列的方法，完成该问题。
求X序列和Y序列的最长公共上升子序列
记 X i X_i Xi为X序列前i个元素构成的序列， Y j Y_j Yj为Y序列前j个元素构成的序列。
记X的第i个元素为x[i]，Y的第j个元素为y[j]
1. 状态定义
集合：X与Y的公共上升子序列
限制：X的前i个元素与Y的前j个元素
属性：长度
条件：最长
统计量：长度
状态定义：dp[i][j]为 X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列的长度
初始状态：
X 0 X_0 X0与 Y j Y_j Yj的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列的长度为0：dp[0][j]=0
X i X_i Xi与 Y 0 Y_0 Y0的以y[0]为结尾的最长公共上升子序列的长度为0：dp[i][0]=0
2. 状态转移方程
分割集合： X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的以y[j]为结尾的公共上升子序列
- 如果
x[i] == y[j]，对所有满足k < j的k，如果y[k] < y[j]，那么 X i − 1 X_{i-1} Xi−1与 Y j Y_j Yj的以y[k]为结尾的最长公共上升子序列后面添加y[j]，即为 X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列，长度为dp[i][j] = dp[i-1][k] + 1。多种情况求最大值。 - 如果
x[i] != y[j]，那么以y[j]为结尾的公共上升子序列中一定不包含x[i]（如果包含的话， X i X_i Xi的子序列的结尾就是x[i]，数值上不等于y[j]，而这个子序列是以y[j]为结尾的，产生了矛盾）。所以只能取 X i − 1 X_{i-1} Xi−1与 Y j Y_j Yj的以y[j]为结尾的公共上升子序列，即dp[i][j] = dp[i-1][j]
3. 记录序列
设vector数组seq，seq[j]中保存当i为特定值的情况下 X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的以y[j]为结尾的最长上升公共子序列。
i每取下一个值，seq都要清空。
在运行中，如果确定要将y[j]接在以y[k]为结尾的公共上升子序列的后面，那么seq[i]就是seq[k]后面添加y[j]形成的新的序列。
3. 输出结果
最后，如果X序列的长度为xn，Y序列的长度为yn。
那么遍历j，求 X x n X_{xn} Xxn与 Y j Y_{j} Yj的以y[j]为结尾的公共上升子序列的最大值，该最大值的行下标为mxj，即dp[xn][mxj]为dp[xn][1]~dp[xn][yn]中的最大值。dp[xn][mxj]就是最长上升公共子序列的长度。
因此 X x n X_{xn} Xxn与 Y m x j Y_{mxj} Ymxj的以y[mxj]为结尾的最长上升公共子序列为 X x n X_{xn} Xxn与 Y y n Y_{yn} Yyn的最长公共上升子序列。
递推结束时，seq[j]为 X x n X_{xn} Xxn与 Y j Y_j Yj的最长公共上升子序列。取seq[mxj]即为 X x n X_{xn} Xxn与 Y m x j Y_{mxj} Ymxj的以y[mxj]为结尾的最长上升公共子序列，输出这个序列。
其他状态定义方法：该题当然也可以设dp[i][j]为 X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的以x[i]为结尾的最长公共上升子序列的长度。但注意，如果这么设，在做递推时必须将i从1遍历到xn作为内层循环，将j从1遍历到yn作为外层循环。这个遍历层次次序会影响到对seq的赋值。
解法2：对解法1的优化
- 滚动数组优化
用一维状态dp[j]表示二维状态dp[i][j]
在外层i从小到大遍历，内层j从小到大遍历时，
一维状态dp[1]~dp[j-1]对应二维状态dp[i][1]~dp[i][j-1]
一维状态dp[j]~dp[yn]对应二维状态dp[i-1][j]~dp[i-1][yn]
如果y[k] < x[i]，当外层内层循环到k时，不会运行进x[i]==y[j]的分支，那么dp[i][k] = dp[i-1][k]。
那么y[k] < y[j] && dp[i-1][k]+1这一句，其实可以改写为y[k] < y[j] && dp[i][k]+1（亲测可行）
经过滚动数组优化，dp[i][k]都可以变为dp[k]，dp[i][j]=dp[i-1][j]也不用写了，dp[j]自然就是dp[i-1][j]这个值。
替换后，递推部分代码为：
for(int i = 1; i <= xn; ++i)
{
for(int j = 1; j <= yn; ++j)
{
if(x[i] == y[j])
{
dp[j] = 1;
seq[j] = vector<int>();
for(int k = 1; k < j; ++k)
{
if(y[k] < y[j] && dp[k]+1 > dp[j])
{
dp[j] = dp[k]+1;
seq[j] = seq[k];
}
}
seq[j].push_back(y[j]);
}
}
}
- 优化求最值
观察解法1中的内层循环，对于每个j，都要求 1 ≤ k ≤ j − 1 1\le k \le j-1 1≤k≤j−1时dp[k]的最大值。而这些最大值是有递推关系的：
1 ≤ k ≤ j 1\le k \le j 1≤k≤j时的dp[k]的最大值为： 1 ≤ k ≤ j − 1 1\le k \le j-1 1≤k≤j−1时dp[k]的最大值与dp[j]的较大值。
进行内层循环时，只有x[i]==y[j]时才会更新状态，因此在进行内层循环时，x[i]就是将来x[i]==y[j]时的y[j]。
进行内层循环时，求所有满足y[j] < x[i]的dp[j]的最大值，其下标保存为mj。那么满足x[i]==y[j]的j前面的末尾元素比y[j]（或者说x[i]）小的最长公共上升子序列以mj为结尾，在它后面添加y[j]，即为 X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的最长公共上升子序列。
【题解代码】
解法1：线性动规
- 状态定义方法1：
dp[i][j]为 X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列的长度
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
int dp[N][N];//dp[i][j]:x前i个元素与y前j个元素构成的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列的长度
int x[N], y[N];
vector<int> seq[N];//seq[j]:当i为某确定值时，x前i个元素与y前j个元素构成的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列
int main()
{
int xn, yn;
cin >> xn;
for(int i = 1; i <= xn; ++i)
cin >> x[i];
cin >> yn;
for(int i = 1; i <= yn; ++i)
cin >> y[i];
for(int i = 1; i <= xn; ++i)
for(int j = 1; j <= yn; ++j)
{
if(x[i] == y[j])
{
dp[i][j] = 1;
seq[j] = vector<int>();
for(int k = 1; k < j; ++k)
{
if(y[k] < y[j] && dp[i-1][k]+1 > dp[i][j])
{
dp[i][j] = dp[i-1][k]+1;
seq[j] = seq[k];
}
}
seq[j].push_back(y[j]);
}
else
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
int mxj = 1;
for(int j = 1;j <= yn;j++)
{
if(dp[xn][j] > dp[xn][mxj])
mxj = j;
}
cout << dp[xn][mxj] << endl;
for(int i = 0; i < seq[mxj].size(); ++i)
cout << seq[mxj][i] << ' ';
return 0;
}
- 状态定义方法2：
dp[i][j]为 X i X_i Xi与 Y j Y_j Yj的以x[i]为结尾的最长公共上升子序列的长度
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
int dp[N][N];//dp[i][j]:x前i个元素与y前j个元素构成的以x[i]为结尾的最长公共上升子序列的长度
int x[N], y[N];
vector<int> seq[N];//seq[i]:当j为某确定值时，x前i个元素与y前j个元素构成的以x[i]为结尾的最长公共上升子序列
int main()
{
int xn, yn;
cin >> xn;
for(int i = 1; i <= xn; ++i)
cin >> x[i];
cin >> yn;
for(int i = 1; i <= yn; ++i)
cin >> y[i];
for(int j = 1; j <= yn; ++j)
for(int i = 1; i <= xn; ++i)
{
if(x[i] == y[j])
{
dp[i][j] = 1;
seq[i] = vector<int>();
for(int k = 1; k < i; ++k)
{
if(x[k] < x[i] && dp[k][j-1]+1 > dp[i][j])
{
dp[i][j] = dp[k][j-1]+1;
seq[i] = seq[k];
}
}
seq[i].push_back(x[i]);
}
else
dp[i][j] = dp[i][j-1];
}
int mxi = 1;
for(int i = 1;i <= xn;i++)
{
if(dp[i][yn] > dp[mxi][yn])
mxi = i;
}
cout << dp[mxi][yn] << endl;
for(int i = 0; i < seq[mxi].size(); ++i)
cout << seq[mxi][i] << ' ';
return 0;
}
解法2：对解法1的优化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
int dp[N];//dp[i][j]:x前i个元素与y前j个元素构成的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列的长度
int x[N], y[N];
vector<int> seq[N];//seq[j]:当i为某确定值时，x前i个元素与y前j个元素构成的以y[j]为结尾的最长公共上升子序列
int main()
{
int xn, yn;
cin >> xn;
for(int i = 1; i <= xn; ++i)
cin >> x[i];
cin >> yn;
for(int i = 1; i <= yn; ++i)
cin >> y[i];
for(int i = 1; i <= xn; ++i)
{
int mj = 0;
for(int j = 1; j <= yn; ++j)
{
if (y[j] < x[i] && dp[j] > dp[mj])
mj = j;
if (x[i] == y[j])
{
dp[j] = dp[mj] + 1;
seq[j] = seq[mj];
seq[j].push_back(x[i]);
}
}
}
int mxj = 1;
for(int j = 1;j <= yn;j++)
{
if(dp[j] > dp[mxj])
mxj = j;
}
cout << dp[mxj] << endl;
for(int i = 0; i < seq[mxj].size(); ++i)
cout << seq[mxj][i] << ' ';
return 0;
}