因果序列解卷积

01 数字解卷积

一、前言

在第四次作业中，包括两道序列解卷积的练习题。第一个给定了卷积序列 x[n] 和卷积结果 y[n] 的表达式，要求求解另外一个参与卷积的序列 h[n]。第二题则是给出了 y[n],h[n]，其中 y[n] 是卷积结果，要求求解另外一个参与卷积的 x[n] 序列。下面让我们讨论一下这两个小题的求解方法。
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▲ 图1.1.1 两个习题内容

▲ 图1.1.1 两个习题内容

二、解卷积方法

对于两个序列 x[n],h[n], 经过卷积得到 y[n]。如果从卷积结果和一个卷积信号，求另外一个卷积信号，这个过程被称为解卷积。当两个信号为因果信号时，卷积公式可以拆解成两项。整理这个方程，便可以的获得关于 x[n]的解卷积公式。比如这里得到的是从卷积结果 y[n] 和信号 h[n] 求解 x[n] 的迭代公式。这种计算解卷的过程，比较简单。但是对于 h[n] 中的误差信号会产生累计，从而造成计算结果随着 n 增加而误差增加。
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▲ 图1.1.2 两个序列卷积

▲ 图1.1.2 两个序列卷积

三、第一小题

对于第一小题，根据前面讨论的因果序列解卷积的公式，可以得到关于 h[n] 的计算公式。根据给的 x[n] 的数值， x[0] 等于1，可以将公式进行简化。将题目中给出的 x[n], y[n] 的表达式代入公式。下面对第二项进行化简。在第二项累加和中， m 的取值范围是从 0 到 n 减一，所以，第一项 delta m 减 n 始终不等于 0，所以这一项始终为 0。第二项，也只有 m 等于 n 减一时，这一项才等于 1，所以整个累加和部分最后只剩下 h, n 减一，乘以负的二分之一。这样就可以得到关于 h[n] 化简后的迭代公式了。

根据这个公式可以逐步计算出 h[n] 的前面任一项的数值。从而可以总结出 h[n] 的表达式。也可以将这个迭代公式整理成关于 h[n] 的差分方程，化简方程的形式，通过求解这个方程，也能够获得 h[n] 的表达式。
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$h\left[ n \right] - {1 \over 2}h\left[ {n - 1} \right] = \left( { - {1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right]$
下面通过推导出来的 h[n] 的迭代公式，使用手工计算或者软件计算，可以得到 h[n] 前面的数值结果，通过观察可以看到，对于 n 等于偶数时，数值等于二分之一的 n 次方， n 等于奇数的时候，对应的 h[n] 为 0。因此，可以归纳出 h[n] 的一般表达式，这是通过观察解卷积 h[n] 数值规律获得 h[n] 的表达式。
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▲ 图1.3.1 求解 h[n]

▲ 图1.3.1 求解 h[n]

实际上作业题还有一问，要求绘制出该系统的系统框图。这个过程可以在之后通过 z 变换进行求解。在这里给出一个启发是求解的方法。根据前面推导出来关于 h[n] 的差分方程，经过一次平移得到下面等效的方程。然后将两个方程相减，方程输入信号经过相减之后，就只剩下 delta n。这样就可以得到在 delta n 激励下的 h[n] 的差分方程了。然后再对方程左右卷积 x[n]，此时方程就变成了关于 y[n], x[n] 的差分方程。基于这个方程，可以大体绘制出该系统的框图。这是该系统的系统框图。
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四、第二小题

第二小题由于数据比较复杂，通过软件编程计算最为方便。这里使用 Python 编程，完成序列的解卷积计算。这是经过计算获得序列 x[n] 的波形。由于 x[n] 数值比较复杂，就不再进一步归纳 x[n] 的表达式了。

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下面对计算数据增加随机噪声，看对解卷积结果有什么影响。对 h[n] 增加方程为 1 的高斯噪声。这是经过解卷积获得 x[n] 的波形，多运行几次，可以看到算法所得到的结果并不稳定。这是其中一次运行结果，可以看到结果中的误差经过累计变得越来越大了。
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