关于频率分辨率

频率分辨率

第一种理解方式

频率分辨率可以理解为在使用DFT时，在频率轴上的所能得到的最小频率间隔，即$f_0=f_s/N=1/N\ast T_s=1/T$，其中$N$为采样点数，$f_s$为采样频率，$T_s=1/f_s$为采样间隔。 所以$N\ast T_s$就是采样前模拟信号的时间长度$T$，所以信号长度越长，频率分辨率越好。

那么是不是采样点数越多，频率分辨力提高了呢？答案是否定的，因为一段数据拿来就确定了时间$T$，注意：$f_0=1/T$，而$T=N\ast T_s$，增加$N$必然减小$T_s$，因此，增加$N$时$f_0$是不变的。只有增加点数的同时导致增加了数据长度$T$才能使分辨率越好。

还有容易搞混的一点，我们在做DFT时，常常在有效数据后面补零达到对频谱做某种改善的目的，我们常常认为这是增加了$N$，从而使频率分辨率变好了，其实不是这样的，补零并没有增加有效数据的长度，仍然为$T$。 但是补零其实有其他好处：

1.使数据N为2的整次幂，便于使用FFT。

2.补零后，其实是对DFT结果做了插值，克服“栅栏”效应，使谱外观平滑化；我把“栅栏”效应形象理解为，就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景，肯定有被栅栏挡住比较多风景，此时就可能漏掉较大频域分量，但是补零以后，相当于你站远了，改变了栅栏密度，风景就看的越来越清楚了。

3.由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露，因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰，补零在一定程度上能消除这种现象。

那么进行离散傅里叶变换DFT时$N$参数的取值要注意以下几点：

1.由采样定理：$f_s>=2f_h$，

2.频率分辨率：$f_0=f_s/N$，所以一般情况给定了$f_h$和$f_0$时也就限制了$N$范围：$N>=f_s/f_0$。

第二种理解方式

频率分辨率也可以理解为某一个算法（比如功率谱估计方法）将原信号中的两个靠得很近的谱峰依然能保持分开的能力。这是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。

在信号系统中我们知道，宽度为$N$的矩形脉冲，它的频域图形为$sinc$函数，两个一阶零点之间的宽度为$4\pi /N$。由于时域信号的截短相当于时域信号乘了一个矩形窗函数，那么该信号的频域就等同卷积了一个$sinc$函数，也就是频域受到$sinc$函数的调制了，根据卷积的性质，因此两个信号圆周频率之差$W_0$必须大于$4\pi /N$。从这里可以知道，如果增加数据点数$N$，即增加数据长度，也可以使频率分辨率变好，这一点与第一种解释是一样的。同时，考虑到窗函数截短数据的影响存在，当然窗函数的特性也要考虑，在频率做卷积，如果窗函数的频谱是个冲击函数最好了，那不就是相当于没截断吗？可是那不可能的，我们考虑窗函数主要是以下几点：

1.主瓣宽度$B$最小（相当于矩形窗时的$4\pi /N$，频域两个过零点间的宽度）。

2.最大边瓣峰值$A$最小（这样旁瓣泄露小，一些高频分量损失少了）。

3.边瓣谱峰渐近衰减速度$D$最大（同样是减少旁瓣泄露）。

接下俩对几种很常用的窗函数进行分析

矩形窗：$B=4\pi /N$ $A=-13dB$ $D=-6dB/oct$

三角窗：$B=8\pi /N$ $A=-27dB$ $D=-12dB/oct$

汉宁窗：$B=8\pi /N$ $A=-32dB$ $D=-18dB/oct$

海明窗：$B=8\pi /N$ $A=-43dB$ $D=-6dB/oct$

布莱克曼窗：$B=12\pi /N$ $A=-58dB$ $D=-18dB/oct$

可以看出，矩形窗有最窄的主瓣，但是旁瓣泄露严重。汉宁窗和海明窗虽主瓣较宽，但是旁瓣泄露少，是常选用的窗函数。