———————————————————[转自ECDAV 杜老师]
DFT 和 DTFT
由于快速傅立叶变换（FFT）对于实现数字信号处理算法的巨大促进作用，导致其成为本科数字信号处理课程中最吸引眼球的知识点之一，很多人都对FFT的本体－离散傅立叶变换（DFT）印象深刻。但是DFT并不是一个真正的具有物理意义的变换，它只是一种用于计算的方法，之所以要有这种计算方法是为了能够去近似的表达那个具有物理意义但却无法计算的变换——离散时间序列的傅立叶变换（DTFT）。为了明确概念，首先重新强调一遍DTFT和DFT的含义
DTFT是具有物理意义的变换，而DFT则是用于近似计算DTFT的工具，而FFT呢，则是DFT的快速算法。所以当我们用FFT来计算信号的DFT的时候，我们一定要知道在不同情况下，由于分析长度、序列补零、以及信号预处理（比如加窗）所带来的干扰，这样有助于明确分析的结果，因为最终我们看到的DFT结果是由两部分合成出来的，一部分是具有物理意义的信号的DTFT结果，另一部分是分析手段所带来的误差信号。
物理分辨率和频率分辨率
具体分析见下面例程，通过修改参数：采样频率、数据长度、FFT点数N等，观察分析
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MATLAB code %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clf;fs=100; %采样频率
Ndata=32; %数据长度
N=32; %T的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %数据对应的时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %时间域信号
y=fft(x,N); %信号的Fourier变换
mag=abs(y); %求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;
Ndata=32; %数据个数
N=128; %T采用的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;
Ndata=136; %数据个数
N=128; %T采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;
Ndata=136; %数据个数
N=512; %T采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;
% （1）当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。
% （2）由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。
% （3）FFT程序将数据截断，这时分辨率较高。
% （4）也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。
%可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。
% 添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，
% 但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高（分析分辨率）。序列补零带来的分析分辨率的提高，但是弥补不了物理分辨率的不足
% 只有数据点数（样点）足够多时才能分辨其中的频率成分（物理分辨率）。为了提高频域的物理分辨率，唯一的办法是增加序列的记录长度加窗信号的频谱分析
只要我们拿过来一段有限长的序列，这等价于对序列在时域乘了一个矩形窗，于是等价于在频域对信号的频谱进行卷积。所以，很自然的我们会想，反正要加个窗，我们是否可以选一选有哪些窗函数可以加呢？这些窗函数的区别又是如何呢？
首先，我们来看看矩形窗
从上面的计算机绘图可以看出
矩形窗的主瓣宽度恒为旁瓣宽度的2倍
矩形窗的主瓣比旁瓣高20dB左右
加窗，其实就是时域卷积（频域相乘），待处理信号与窗函数 数学作用的过程。
其他矩形窗也都有类似的特性。除此之外重要的特性：旁瓣从低频到高频的幅度衰落速度
%%%%%%%%%%%%%%%%% MATLAB code section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 8 ; % 离散序列的样点长度
kaiser_Beta = 0 ; %窗形状的调节因子
win = kaiser(N,kaiser_Beta); win_name = 'Kaiser';
x1=conv(signal,win);
figure(1) ; % open new figure
subplot(2,2,1:2) ;
set(gca,'fontsize',14) ;
stem(x1) ; % plot(x1)
grid on ; % draw grid on figure凯泽窗的解析表达式比较复杂，该表达式基于第一类0阶的修正贝塞尔函数，此处不给出其具体形式了，有兴趣的请自行阅读奥本海姆的《离散时间信号处理》的第七章“窗函数法设计FIR滤波器”的部分。对于应用者，只需要知道凯泽窗有两个参数可以设定：
Beta：窗形状的调节因子
N： 窗的长度
凯泽窗的强大在于，对于固定长度为N的凯泽窗，调节Beta的数值可以得到不同的主瓣和旁瓣特征，比如当Beta＝0时，它等价为矩形窗，当Beta为7附近时，它等价为布莱克曼窗，在奥本海姆的书中探讨了凯泽窗通过调节Beta因子和其它窗之间的等价关系。在采样点数较长（几百或几千）的时候，凯泽窗可以轻松的把旁瓣快速压制到－120dB以下，不过代价就是主瓣变得很宽。
下图是一张来自 MIT 某课题组网站 的照片，很形象的绘出了时域和频域观察得到的信号。
有多个信号合成的复杂信号