小波分析之多分辨率分解和重构过程详解

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前言

傅里叶级数的一个缺点是，它的构造块是无始无终的周期性正弦波和余弦波。这使得该方法适合于滤除或压缩那些具有近似周期性的波动信号。而面对那些具有显著局部特征的信号，正弦波和余弦波就无能为力了。

幸好还有另外一类构造块，称为小波，它适合模拟突变信号——具有显著局部特征的信号。

本文首先介绍了小波处理信号的一般步骤；之后分别对分解算法、重构算法进行了详细描述；最后，基于MATLAB展示了信号的分解和重构过程及效果。

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一、小波处理信号的一般过程

1）取样：这是一个预处理步骤。若信号连续，那么必须以能够捕获原信号必要细节的速率取样。不同的应用决定了不同的取样率。如：原信号的细节频率为20kHz，由Nyquist采样定理，此时的取样率至少应为细节频率的两倍，即40kHz，才能保证细节频率不失真。

2）分解：信号取样后，选择一个最高级近似系数$f_j\in V_j$，以便能最佳的逼近$f$。之后，通过多分辨率分解算法，将信号进行逐级分解。该步骤的输出是各级别的小波系数（细节系数）和最低级别（或自定义的合适级别）的近似系数。该系数集就是下一步信号处理中要处理的对象。

3）信号处理：通过舍弃非显著系数可以压缩信号，或者以某种方式使信号滤波或去噪。该步骤的输出是修改过的系数集（细节系数集），可被存储或立即重构以重组经过处理的信号。但在某些情况下，原信号不再有用，可以舍弃，如：奇异性检测。

4）重构：把经过信号处理步骤修改过的系数集（细节系数集），应用多分辨率重构算法，进行逐级重构，该步骤输出最高级近似系数。

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二、分解算法

1. 分解迭代

首先，基于取样率和进行什么样的多分辨率分析确定$f$的近似空间$V_j$，其能最佳的反映$f$的各种信息。之后选择一个$f_j\in V_j$，以便能最佳的逼近$f$。

由$f_j$开始，逐级分解为较低级别的近似部分$f_{j-1}$和小波部分（细节部分）$w_{j-1}$，即有$f_j$ = $f_{j-1}$ + $w_{j-1}$。如此，对$f_{j-1}$和$f_{j-2}$采用相同步骤，并一直进行下去，如下图所示，最终终止于第0级分解。
为进行分解，需要对近似系数和小波系数进行操作，采用离散滤波器实现形式。

2. 多分辨率分解算法

如：把一个信号离散化为$2^8$个采样点，于是得
$$a_k^8=f(k/2^8)，0\le k\le 2^8-1$$

下取样：对原信号每隔一个点取一个样本后得到，即舍弃原信号序列中奇数项部分。
定义下取样算子$D$如下：
若$x=(...,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,...)$，那么其下取样序列为
$$Dx=(...,x_{-2},x_0,x_2,...)$$

通过离散滤波器（卷积算子），来描述迭代步骤。滤波器$h$和$l$，分别为分解高通和分解低通滤波器。
卷积形式：$a^{j-1}=D(l\ast a^j)$，$b^{j-1}=D(h\ast a^j)$；
算子形式：$a^{j-1}=D(L(a^j))$，$b^{j-1}=D(H(a^j))$；

注：
① 通过$H(x)=h\ast x$，$L(x)=l\ast x$，定义两个离散滤波器（卷积算子）$H$和$L$，并记 $x=a^j$；
② 离散滤波器和下取样算子不依赖于$j$，所以存储需求量小，而且由于卷积运算并不耗时，整个迭代过程既快又有效。

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三、重构算法

1. 重构迭代

一旦信号分解完毕，就可以通过修改某些$w_{j^{\prime }}$,实现对信号的处理。如果想要滤除信号中的噪声，那么$f$中的$w_{j^{\prime }}$中相应于不想要的频率部分可被舍弃，结果使得噪声被显著减小。如果想要对原信号进行数据压缩，可将幅值较小的$w_{j^{\prime }}$分量舍弃，这不会显著的改变原信号特征，但会获得极大的数据压缩效果。当$w_{j^{\prime }}$分量被修改完成之后，需要一个重构算法，重新组装被滤波或被压缩的信号，这个过程即为信号的重构，算法流程如下：

2. 多分辨率重构算法

对近似系数和小波系数采用离散滤波器实现形式进行重构。

$$a_k^j=\Sigma {\overline{l}}_{(k-2l)}{a}_l^{j-1}+\Sigma {\overline{h}}_{(k-2l)}{b}_l^{j-1}$$

这几乎就是两个卷积之和，唯一区别是卷积的指标是$k-l$而不是$k-2l$，即上式是一个奇数(${\overline{l}}_{(k-(2l+1))}$)缺失的卷积。可以利用上取样算子简单地用0乘奇数项而复原回来。

上取样：把0均匀的分散在序列$a_l^{j-1}$中，形成一个在所有的奇数位置为0的新序列。原来的每个非零项给定一个新的偶数指标，这只要把原有的指标倍乘即可，例如，$a_{-1}^{j-1}$，现在的下标是-2，上取样定义如下：
另$x=(...,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,...)$为一序列，那么其上取样算子$U$为
$$Ux=(...,x_{-2},0,x_{-1},0,x_0,0,x_1,0,x_2,0,...)$$
或
$$(Ux{)}_k=0，若k为奇数；(Ux{)}_k=x_{k/2}，若k为偶数$$

通过离散滤波器（卷积算子），来描述迭代步骤。滤波器$\overline{h}$和$\overline{l}$，分别为重构高通和重构低通滤波器。
卷积形式：$a^j=\overline{l}\ast (U(a^{j-1}))+\overline{h}\ast (U(a^{j-1}))$；
算子形式：$a^j=\overline{L}(U(a^{j-1}))+\overline{H}(U(b^{j-1}))$；

注：
① 通过$\overline{H}(x)=\overline{h}\ast x$，$\overline{L}(x)=\overline{l}\ast x$，定义两个离散滤波器（卷积算子）$\overline{H}$和$\overline{L}$，并记 $x=U(a^{j-1})$；
② 同分解算法一样，离散滤波器和下取样算子不依赖于$j$，所以存储需求量小，而且由于卷积运算并不耗时，整个迭代过程既快又有效。

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四、信号的分解和重构(MATLAB)

1. 分解和重构程序

代码如下：

% 导入原始数据 leleccum
load leleccum;
s = leleccum(1:4096);

% 单尺度一维离散小波变换（分解）
[cA1,cD1] = dwt(s,  'db4'); % 一次分解（原始信号）
[cA2,cD2] = dwt(cA1,'db4'); % 二次分解（一次分解后近似系数cA1）
[cA3,cD3] = dwt(cA2,'db4'); % 三次分解（二次分解后近似系数cA2）

figure(1);
% 原始信号 
subplot(2, 2, 1),plot(s,  'r');hold on,              legend('原始信号');
% 一次分解下近似和细节系数
subplot(2, 2, 2),plot(cA1,'r'),hold on,plot(cD1,'b'),legend('近似cA1','细节cD1');
% 二次分解下近似和细节系数
subplot(2, 2, 3),plot(cA2,'r'),hold on,plot(cD2,'b'),legend('近似cA2','细节cD2');
% 三次分解下近似和细节系数
subplot(2, 2, 4),plot(cA3,'r'),hold on,plot(cD3,'b'),legend('近似cA3','细节cD3');


% 单尺度一维离散小波逆变换（重构）
R_cA2 = idwt(cA3,cD3,'db4');
R_cA1 = idwt(cA2,cD2,'db4');
R_S   = idwt(cA1,cD1,'db4');

figure(2);
% 原始信号s与由cA1,cD1重构后的R_S比较
% 注：为更好显示重构效果，将重构后的数据减去50
subplot(2, 2, 1),plot(s,'r'),  hold on,plot(R_S-50,  'b'),legend('s',  'R_S-50');
% 一次分解下近似cA1和由cA2,cD2重构后的近似R_cA1比较
subplot(2, 2, 2),plot(cA1,'r'),hold on,plot(R_cA1-50,'b'),legend('cA1','R_cA1-50');
% 二次分解下近似cA2和由cA3,cD3重构后的近似R_cA2比较
subplot(2, 2, 3),plot(cA2,'r'),hold on,plot(R_cA2-50,'b'),legend('cA2','R_cA2-50');

2. 效果展示

Figure 1：

Figure 2：

注：为更好显示重构效果，程序中将重构后的数据减去50，以使重构后的波形与原波形更好区分。

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总结

1）小波适合模拟突变信号——具有显著局部特征的信号；
2）小波处理信号的一般步骤：取样、分解、信号处理、重构；
3）一般采用离散滤波器对近似系数和小波系数进行操作；
4）分解算法中运用下取样，重构算法中运用上取样；
5）MATLAB的dwt、idwt函数能实现对信号的分解和重构。

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参考

小波与傅里叶分析基础(第二版)——电子工业出版社。