| 一、实验目的： 1. 掌握用MATLAB、LINGO 、EXCEL优化工具箱解线性规划的方法； 2. 练习建立实际问题的线性规划模型； 3. 掌握线性规划灵敏度分析原理； 4. 预习线性规划的灵敏度分析原理及方法。 |
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| 二、实验内容 题目1：求解线性规划问题，并进行灵敏度分析。
数学模型： (1)
(2)
程序代码： (1) MODEL: MAX=4*x1+2*x2+x3+0*x4+0*x5; x1+x2+x3+x4=6; 2*x1-x2+x5=4; END (2) MODEL: MAX=-x1+2*x2+x3+0*x4+0*x5; x1+x2+x3+x4=6; 2*x1-x2+x5=4; END 程序执行结果： (1)
(2)
结果解释： 由-1变为 4时，新问题的最优解为Z=18.66667（第一问答案），其中，x1=3.333333,x2=2.666667,x3=x4=x5=0。 reduced cost结果解释（2）: 变量x1对应的reduced cost值为3，表示当非基变量x1的值从0变为 1时（此时假定其他非基变量保持不变），最优目标值为 z= 18.66667+3 = 21.66667。同理（以下均其他非基变量保持不变），X3增加一个单位时，最优目标值增加1，4增加一个单位时，最优目标值增加2，X2，x5的值变化对最优值无影响。 Slack or Surplus结果解释(2): Slack or Surplus值为给出的松驰变量值，可以看出对于约束1（即第一个不等式）松弛变量为12，约束2和约束3中的变量值刚好达到约束条件。 Dual price结果解释(2): Dual price值为对偶价格，表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。 显然，第一个约束的右端值增加1个单位目标将增加1个单位，对于约束二，右端值增加1个单位目标值将增加2个单位，对于约束三，对偶价格为0 目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析： Objective Coefficient Ranges(2)结果分析： 对于x1来说，目标函数中原来的系数为-1，允许增加（Allowable Increase）3、或者允许减少（Allowable Decrease）到无穷小，说明当它在[-∞，-1+3]=[ -∞,2]范围变化时，最优基保持不变。同理，x2系数 在(第二问答案)，x3系数在 ，x4系数在 ，x5系数在 时，最优解不变。 Right hand Side Ranges (2)结果分析： Row=2的行Current RHS值为6即第2行约束中右端项，当它在[6-6，6+∞] = [0，+∞]范围变化时，最优基保持不变。同理，第三行约束右端项在[-6，+∞] 最优基保持不变 题目2：求解线性规划问题，并进行灵敏度分析。
若右端向量从 ,求新问题的最优解。 数学模型：
程序代码： MODEL: MAX=-x1-x2+4*x3; x1+x2+2*x3+x4=3; x1+x2-x3+x5=2; -x1+x2+x3+x6=3; END 程序执行结果：
结果解释： 由题目1分析同理可知，当x3=1.5,x5=3.5,x6=1.5,x1=x2=x4=0时，取得最优值Z=6（问题答案） reduced cost结果解释: x1增加一个单位最优目标值增加3，x2增加一个单位最优目标值增加3，x4增加一个单位时，最优目标值增加2。X3,x5，x6的值变化对最优值无影响。 Slack or Surplus结果解释: 可以看出对于约束1松弛变量为6，约束2，3，4中的变量值刚好达到约束条件。 Dual price结果解释: 第一个约束的右端值增加1个单位目标将增加1个单位，对于约束二，右端值增加1个单位目标值将增加2个单位，对于约束3，4，对偶价格为0 目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析： Objective Coefficient Ranges结果分析：
Right hand Side Ranges 结果分析：
题目3：求解线性规划问题，并进行灵敏度分析。
现增加一个新变量 数学模型：
程序代码： MODEL: MAX=-x1-x2+4*x3+3*x7; x1+x2+2*x3+x4+3*x7=9; x1+x2-x3+x5+x7=2; -x1+x2+x3+x6-3*x7=4; END 程序执行结果：
结果解释： 由题目1分析同理可知，当x3=4.33333,x5=6.222222,x7=0.1111111,x1=x2=x4=x6=0时，取得最优值Z=17.66667（问题答案） reduced cost结果解释: x1增加一个单位最优目标值增加2，x2增加一个单位最优目标值增加3.333333，x4增加一个单位最优目标值增加1.666667 ，x6增加一个单位最优目标值增加0.666667。X3,x5，x7的值变化对最优值无影响。 Slack or Surplus结果解释: 可以看出对于约束1松弛变量为17.667，约束2，3，4中的变量值刚好达到约束条件。 Dual price结果解释: 第一个约束的右端值增加1个单位目标将增加1个单位，对于约束二，右端值增加1个单位目标值将增加1.666667个单位，对于约束四，右端值增加1个单位目标值将增加0.666667个单位，对于约束3对偶价格为0 目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析： Objective Coefficient Ranges结果分析：
Right hand Side Ranges 结果分析：
题目4：求解线性规划问题，并进行灵敏度分析。
现增加新约束： 数学模型：
程序代码： MODEL: MAX=-x1-x2+4*x3; x1+x2+2*x3<9; x1+x2-x3<2; -x1+x2+x3<4; -3*x1+x2+6*x3<17; END 程序执行结果：
结果解释： 同理可知，当x1=1.666667,x2=0,x3=3.666667时，取得最优值Z=13。（问题答案） reduced cost结果解释: x2增加一个单位最优目标值增加2。x1，x3的值变化对最优值无影响。 Slack or Surplus结果解释: 可以看出对于约束1松弛变量为13，对于约束3松弛变量为4，对于约束4松弛变量为2，约束2，5中的变量值刚好达到约束条件。 Dual price结果解释: 第一个约束的右端值增加1个单位目标将增加1个单位，对于约束二，右端值增加1个单位目标值将增加0.5个单位，对于约束五，右端值增加1个单位目标值将增加0.5个单位，对于约束三和约束四对偶价格为0 目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析：
题目5： 建立模型并求解：一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题： (1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ (2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ (3)由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 数学模型：设用x1桶牛奶制成了3x1公斤的A1，用x2桶牛奶制成了2x2公斤的A2，其中x1和x2均为整数。 (1)
程序代码： MODEL: MAX=72*x1+64*x2; x1+x2<50; 12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; END 程序执行结果：
结果解释： X1，x2分别为20、3桶时，可使得利润达到最大，最大利润为3360元； reduced cost结果解释: 变量x1对应的reduced cost值为-72，表示x1减少一桶时，利润减少72元。同理，x2减少一桶时，利润减少64元。 Slack or Surplus结果解释: Slack or Surplus值为给出的松驰变量值，可以看出每天供应牛奶桶数和每天工人总的劳动时间都达到了上限，低于甲车间加工能力上限40公斤。 Dual price结果解释: 1.增加每天供应牛奶桶数1单位可利润增加48元， 2.增加每天工人总的劳动时间1单位可利润增加2元。 35<48由此可见 ，若用35元可以买到1桶牛奶，应作这项投资。（第一个问题答案） 由于增加1个小时总劳动时间利润仅增加2元，所以最多付给工人每小时两元。（第二个问题答案） 目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析： Objective Coefficient Ranges（系数价格变化）结果分析： 对于x1来说，目标函数中原来的系数为72，允许增加（Allowable Increase）24、或者允许减少（Allowable Decrease）8，说明当它在[72-8，72+24]=[ 64,96]范围变化时，最优基保持不变。同理，对于x2来说，目标函数中原来的系数为64，允许增加（Allowable Increase）8、或者允许减少（Allowable Decrease）16，说明当它在[64-16，64+8]=[ 48,72]范围变化时，最优基保持不变。 又由每公斤A1获利30元，则用一桶牛奶生产x1获利90元，即x1系数为90，在[64,96] 区间内，所以不需要改变生产计划。（第三个问题答案） Right hand Side Ranges (约束中右端项变化)结果分析： 每天供应牛奶桶数(桶数为整数)在区间[43.33333,60]内,每天工人总的劳动时间在区间[400,533.33333]内时，最优基保持不变。（由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。所以此时投资牛奶最多购买60-50=10桶牛奶（第一个问题答案）。 |
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| 分析与讨论：
“Reduced Cost”表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量 Xj, 相应的 reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数增加的量。例如变量x1对应的reduced cost值为3，表示当非基变量x1的值从0变为 1时（此时假定其他非基变量保持不变），最优目标值为 z= 18.66667+3 = 21.66667。
“Slack or Surplus”给出松驰变量的值：例如题目5Slack or Surplus值为给出的松驰变量值，可以看出每天供应牛奶桶数和每天工人总的劳动时间都达到了上限，低于甲车间加工能力上限40公斤。
Dual Price（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。 若其数值为p， 表示对应约束中不等式右端项若增加1 个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。
对于x1来说，目标函数中原来的系数为72，允许增加（Allowable Increase）24、或者允许减少（Allowable Decrease）8，说明当它在[72-8，72+24]=[ 64,96]范围变化时，最优基保持不变。同理，对于x2来说，目标函数中原来的系数为64，允许增加（Allowable Increase）8、或者允许减少（Allowable Decrease）16，说明当它在[64-16，64+8]=[ 48,72]范围变化时，最优基保持不变。
虽然限制量在最终得到的一个区间里变化，最优基保持不变，但由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变。并且由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化。 |
最优化系列 之 线性规划问题的灵敏度分析(1/6)
，且已知
求新问题的最优解。
,求新问题的最优解。
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