目录
一、理论基础
人脸识别技术是一种广泛应用于安防、金融、医疗等领域的技术，它可以识别出人脸图像中的人物身份信息。基于LDA特征提取的人脸识别算法是一种常用的人脸识别方法，它通过对人脸图像进行特征提取，从而实现人脸识别。本文将从数学公式和实现步骤两个方面，详细介绍基于LDA特征提取的人脸识别算法。
2.1 PCA特征提取
在介绍LDA特征提取之前，我们先来介绍一下PCA（Principal Component Analysis）特征提取。PCA是一种常用的特征提取方法，它通过对数据进行降维，提取出数据的主要特征，从而减少数据的冗余信息。
假设我们有一个由$n$个样本组成的数据集$X={x_1,x_2,...,x_n}$，每个样本有$d$维特征，我们的目标是将这个数据集降到$k$维，即将每个样本$x_i$转化为$k$维向量$y_i$，使得样本在$k$维空间中的方差最大。我们可以通过对样本协方差矩阵进行特征值分解，得到协方差矩阵的$k$个最大特征值和对应的特征向量，将这$k$个特征向量组成的矩阵$W$作为变换矩阵，将每个样本$x_i$乘以变换矩阵$W$，得到降维后的样本$y_i=W^Tx_i$。PCA的数学公式如下：
计算样本均值：
$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$
计算协方差矩阵：
$$C=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})^T$$
对协方差矩阵进行特征值分解：
$$C=V\Lambda V^T$$
其中，$V$为特征向量矩阵，$\Lambda$为特征值对角矩阵。
取最大的$k$个特征向量：
$$W=[v_1,v_2,...,v_k]$$
对每个样本进行变换：
$$y_i=W^Tx_i$$
2.2 LDA特征提取
LDA（Linear Discriminant Analysis）特征提取是一种常用的分类方法，它通过对数据进行降维，同时保留了数据的分类信息，从而提高了分类的准确率。
假设我们有一个由$n$个样本组成的数据集$X={x_1,x_2,...,x_n}$，每个样本有$d$维特征和一个类别标签$y_i$，我们的目标是将这个数据集降到$k$维，使得降维后的数据能够最大化不同类别之间的距离，同时最小化同一类别内部的距离。我们可以通过对两个矩阵$S_w$和$S_b$进行特征值分解，得到特征向量矩阵$W$，将每个样本$x_i$乘以变换矩阵$W$，得到降维后的样本$y_i=W^Tx_i$。LDA的数学公式如下：
计算每个类别的均值：
$$\overline{x}i=\frac{1}{n_i}\sum{j=1}^{n_i}x_{ij},\quad i=1,2,...,c$$
其中，$c$为类别数，$n_i$为第$i$个类别的样本数。
计算总体均值：
$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^c\sum_{j=1}^{n_i}x_{ij}$$
其中，$n$为总样本数。
计算类内散度矩阵$S_w$：
$$S_w=\sum_{i=1}^c\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline{x}i)(x{ij}-\overline{x}_i)^T$$
计算类间散度矩阵$S_b$：
$$S_b=\sum_{i=1}^c n_i(\overline{x}_i-\overline{x})(\overline{x}_i-\overline{x})^T$$
对矩阵$S_w^{-1}S_b$进行特征值分解：
$$S_w^{-1}S_b=V\Lambda V^T$$
其中，$V$为特征向量矩阵，$\Lambda$为特征值对角矩阵。
取最大的$k$个特征向量：
$$W=[v_1,v_2,...,v_k]$$
对每个样本进行变换：
$$y_i=W^Tx_i$$
其中，$k$为降维后的维数，$y_i$为降维后的样本向量。
1.3实现步骤
基于LDA特征提取的人脸识别算法的实现步骤如下：
准备人脸数据集，每个人的人脸图像至少有2张，将数据集划分为训练集和测试集。
对训练集中的每个人的人脸图像进行PCA特征提取，得到每个人的特征子空间，将这些特征子空间合并成一个总的特征子空间。
对训练集中的每个人的人脸图像进行LDA特征提取，得到每个人的LDA特征向量，将这些LDA特征向量合并成一个总的LDA特征向量矩阵。
对测试集中的每个人的人脸图像，先进行PCA特征提取，将其转化为PCA特征向量，然后将其投影到总的特征子空间中，得到其在总的特征子空间中的投影向量。
对投影向量进行LDA变换，得到其在LDA特征空间中的特征向量。
将测试样本的LDA特征向量与训练样本的LDA特征向量进行比较，选择距离最近的训练样本的LDA特征向量对应的人脸标签作为测试样本的识别结果。
基于LDA特征提取的人脸识别算法是一种常用的人脸识别方法，它通过对人脸图像进行特征提取，从而实现人脸识别。本文从数学公式和实现步骤两个方面，详细介绍了基于LDA特征提取的人脸识别算法。在实际应用中，我们可以根据实际情况对算法进行优化和改进，以提高算法的识别率和性能。
二、核心程序
....................................................................................
%------------input train sample-------------------
train=cell(1,all_train);
meanrate=0;%20次试验的平均识别率
fprintf('每类 训练样本个数：%2d ',t) ;
fprintf('每类 测试样本个数：%2d\n',Ni-t);
for e=1:experiment
fprintf('第 %2d 组实验 不同维数的识别率\n',e);
a=1;%用来计数
gnd=[];
for i=1:C
for j=1:t %每类的前t个样本作为训练样本
str=strcat('ORL\s',int2str(i),'\',int2str(number(e,j)),'.pgm');
eval('img=imread(str);');
train{:,a}=double(img);
train_data(a,:)=reshape(train{:,a},1,L);
a=a+1;
gnd=[gnd;i];
end
end
%------------- -------------------------
ratematrix=[];
options = [];
options.PCARatio = 0.85;
[eigenvector, eigenvalue] = LDA(gnd, options, train_data);
eigvalue=diag(eigenvalue);
[Sr,index]=sort(-eigvalue);
for dim=1:3 %降维后的维数
%-------------------------------
vector=eigenvector(:,index(1:dim));
train_Y = train_data*vector;
%------------input test sample and compute the rate-------------------
success=0;
fail=0;
for n=(t+1):Ni %number :(t+1)---Ni做测试
for j=1:C
test=double(imread(strcat('ORL\s',int2str(j),'\',int2str(number(e,n)),'.pgm')));
test_data=reshape(test,1,L);%转为列向量
test_Y=test_data*vector;%将测试样本投影到
%-------------comput Euclidean distance--------------
distance=[];
for m=1:all_train
tt=double(test_Y)-double(train_Y(m,:));
d=norm(tt);
distance=[distance d];
end
%--------find the minimum distance -----------------
min_num=find(distance==min(distance));
predict=floor((min_num-1)/t)+1;
if predict==j
success=success+1;
else
fail=fail+1;
%fprintf('%d.jpg fails to match!\n',j);
end
end
end
rate=(success/all_test)*100;
ratematrix=[ratematrix rate/100];
fprintf('dim:%2d',dim);
fprintf(' rate:%4.2f%%',rate);
fprintf(' success:%2d',success);
fprintf(' fail:%2d',fail);
fprintf(' total:%2d\n',all_test);
end
meanrate=meanrate+ratematrix/experiment;
end
colum=size(meanrate,2);
fprintf('每类 训练样本个数：%2d ',t) ;
fprintf('每类 测试样本个数：%2d\n',Ni-t);
fprintf('%2d组实验，不同维数的平均识别率\n',experiment);
for dim=1:colum
fprintf('dim:%2d',dim);
fprintf(' meanrate:%4.4f\n',meanrate(:,dim));
end
UP2147三、仿真结论
