约数个数及约数之和知识点(含公式)

前言

在学习Acwing c++蓝桥杯辅导课第八讲数论-AcWing 1296. 聪明的燕姿时学习到了约数之和的公式，这里来记录下知识点。

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约数知识点

约数个数、约数之和公式及证明举例

公式1、N的约数个数为(a1+1)(a2+1)…(an+1)

证明：假设N的一个约数为D，D = P1^b1 * P2^b2 * … * Pn^bn，其中bi可以取到0，范围是0<= bi <= ai

因为只有和N的质因数一一对应一定能得到约数，因为bi可以从0取到ai,那么每一个bi就有(ai+1)种选法，约数的个数就是每个bi对应多少种选法相乘。

公式2、约数之和S = (1+p1+p1²+…+p1^a1)(1+p2+p2²+…+p2^a2)…(1+pn+pn²+…+pn^an)

证明：因为每一个约数为D = P1^b1 * P2^b2 * … * Pn^bn，那么S = (1+p1+p1²+…+p1^a1)(1+p2+p2²+…+p2^a2)…(1+pn+pn²+…+pn^an)

这个公式的意思就是从每个括号里面取出来一个数然后相乘，就能得到一个约数Di，然后所有的约数Di相加就得到约数之和S。

实际举例：对于S = 42（约数之和）来说，42对应的结果里面有一个为20，20的约数之和为 = (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20)

将数字20转为N的公式：20 = 2²*5，对于两个质因数2和5来说，2可以取0,1,2次，5可以取0,1次，接着我们就可以使用公式：约数之和S = (1+p1+p1²+…+p1^a1)(1+p2+p2²+…+p2^a2)…(1+pn+pn²+…+pn^an)，为如下：

所以S = (1+2+2²)(1+5) = 42

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参考文章

[1]. AcWing 1296. 聪明的燕姿-题解