蒙哥马利算法求解大整数幂求模

蒙哥马利大整数模幂算法

  前几天写了一篇博客《25行代码实现完整的RSA算法》，是关于用Python代码实现一个完整的RSA算法的代码，整个代码中最核心、最浪费时间的代码部分就是关于求解大整数模幂算法这里。整个算法也叫“蒙哥马利幂模”算法。
  首先简单介绍一下蒙哥马利相关的几个算法，具体详细介绍可以参考《蒙哥马利算法详解》。蒙哥马利算法并不是一个独立的算法，而是三个相互独立又相互联系的算法集合，其中包括：

• 蒙哥马利乘模，是用来计算$x⋅y (mod N)$
• 蒙哥马利约减，是用来计算$t⋅ρ^{-1} (mod N)$
• 蒙哥马利幂模，是用来计算$x^{y} (mod N)$

  在这三个算法中，蒙哥马利幂模是RSA加密算法的核心部分。本篇文章为了简单起见就不介绍前两个“蒙哥马利乘模”和“蒙哥马利约减”算法了。主要介绍第三个“蒙哥马利幂模”的计算方法过程，以及通过一个小例子进行说明这个算法的具体计算过程，至于证明方法我就不在这里介绍，大家只要能看到这个例子以后，能把代码写出来就能写完整的RSA算法了。如果想看已经实现的代码请参考这里，或者这里。在这两篇博文里都有完整的代码实现方法。下面介绍“蒙哥马利幂模”的详细计算过程：
  RSA公钥密码的加密算法与解密算法都要计算“模幂乘运算”$a^b(modN)$。
设b的二进制数字表示为$b_{r-1}...b_1b_0$，即：
      $b=b_0+b_1×2+...+b_{r-1}×2^{r-1}$。
于是：
      $a^b≡a^{b_0}×(a^2)^{b_1}×...×(a^{2^{r-1}})^{b_{r-1}}(mod N)$
令$A_0=a$，$A_i≡(A_{i-1})^2(mod N)$，i = 1， 2… r - 1，则有：
    $a^b ≡ {A_0}^{b_0} × {A_1}^{b_1} × ... × {A_{r-1}}^{b_{r-1}} (mod N)$
其中，在这里

$${A_i} ^ {b_i}=\begin{cases} A_i, & 若b_i=1\\ 1, & 若b_i=0 \end{cases} i=0,1...r-1$$
下面通过一个例子来说明以上的公式：
  例1：取p=43,q=59，n = 43 × 59 = 2537 , φ(n) = (43 - 1) × (59 - 1) = 2436 , 选取e = 13。字母表（a，b，….，z）依次用00,01，…，25表示，各占2位，设明文段m=2106，也就是m = vg，那么密文 $c = 2106^{13} mod 2537$。计算如下：13的二进制表示为1101，即 $13=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 2^3 + 2^2 + 1$。
   $A_0 = 2106 ≡ -431 (mod 2537)$，
   $A_1 = (-431)^2 ≡ 560 (mod 2537)$，
   $A_2 = (560)^2 ≡ -988 (mod 2537)$，
   $A_3 = (-988)^2 ≡ -601 (mod 2537)$，
   $2106^{13} = (-431) × (-988) × (-601) ≡ 2321 (mod 2537)$
得到密文c=2321。
  又设收到密文是0981，要把它恢复成明文，计算 ${13}^{-1} ≡ 937(mod2436)$，得d = 937，明文 $m^{'} = 981 ^ {937} (mod 2537)$。计算如下：937的二进制表示为1110101001，即 $937 = 1 + 2^3 + 2^5 + 2^7 + 2^8 + 2^9$。
   $A_0 = 981$，
   $A_1 = 981^2 ≡ 838 (mod 2537)$，
   $A_2 = 838^2 ≡ -505 (mod 2537)$，
   $A_3 = (-505)^2 ≡ -1325 (mod 2537)$，
   $A_4 = 1325^2 ≡ 21 (mod 2537)$，
   $A_5 = 21^2 ≡ 441 (mod 2537)$，
   $A_6 = 441^2 ≡ -868 (mod 2537)$，
   $A_7 = (-868)^2 ≡ -65 (mod 2537)$，
   $A_8 = (-65)^2 ≡ -849 (mod 2537)$，
   $A_9 = (-849)^2≡ 293 (mod 2537)$，
   $981^{937} ≡ 981 × 1325 × 441 × 981 × 981 × 293 ≡ 704(mod 2537)$,
得明文： $m' = 0704$，即he。
  如果想看到一个正式的加密解密代码请点击我的第一篇博客《 25行代码实现完整的RSA算法》，在这里你才能真正领略“蒙哥马利算法”在互联网支付与通信时代所发挥的重大的作用。今天我们敢在手机上、电脑上以及服务器上面很放心地对自己的银行卡进行操作，全都依赖rsa算法的威力。