继0_1背包问题后，本文介绍完全背包问题
0_1背包问题见：https://blog.csdn.net/qq_34793133/article/details/80543625
完全背包问题与01背包问题的区别在于每一件物品的数量都有无限个，而01背包每件物品数量只有一个。
问题解法其实和01背包问题一样，只是初始化的值和递推公式需要稍微变化一下。初始化时，当只考虑一件物品a时，f[1][j] = j/weight[a]。 递推公式计算时，f[i][y] = max{f[i-1][y], (f[i][y-weight[i]]+value[i])}，注意这里当考虑放入一个物品 i 时应当考虑还可能继续放入 i，因此这里是f[i][y-weight[i]]+value[i], 而不是f[i-1][y-weight[i]]+value[i]。
考虑如下实际问题：
物品标号与价值 v[1]=1;v[2]=3;v[3]=5;v[4]=9;
物品标号与重量 w[1]=2,w[2]=3;w[3]=4;w[4]=7;
背包总的重量限制 b=10;
算法代码：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 150;
int v[N] = {0,1,3,5,9};
int w[N] = {0,2,3,4,7};
int x[N];
int m[N][N];
int c = 10;
int n = 4;
/*********************追踪具体装了哪件物品，各装了几件*********/
void traceback(int j,int y,int f[N][N])
{
while (j)
{
if (f[j][y] == (f[j][y - w[j]] + v[j])) //说明第k件物品至少装了一件
{
x[j]++; //第j件可能有多个。这两句是和0_1背包不同之一
y -= w[j];
++j;
}
j--;
}
}
int main()
{
memset(m, 0, sizeof(m));
for (int j = 1; j <= n; ++j)
m[1][j] = (j / w[1])*v[1]; //此处m[i][j]初始化与0_1背包不同
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= c; j++)
{
if (j >= w[i])
m[i][j] = max(m[i - 1][j], m[i][j - w[i]] + v[i]);
// 和0_1背包第二点不同。0_1背包此处是m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
m[i][j] = m[i - 1][j];
}
}
/*****************打印显示下m[i][j]的内容**************/
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=c;j++)
{
cout<<m[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
cout << endl ;
/*******************初始化x[]数组，用来存第i件物品放入了背包，放了几件**************/
x[0] = m[1][c] /v[1];
/*********************跟踪*********************/
traceback(n,c,m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << "第"<<i<<"件取"<< x[i] << "个" << endl;
}
return 0;
}
