【自动驾驶】模型预测控制(MPC)实现轨迹跟踪

参考资料

• bilibili的DR_CAN讲解的MPC模型预测控制器
• 知乎上一个比较通俗易懂的解释
• 模型预测控制
• 轨迹跟踪模型预测控制(MPC)原理与python实现
• DR_CAN笔记MPC
• MPC控制笔记

1. 基本概念

• 模型预测控制（MPC）的核心思想就是以优化方法求解最优控制器，其中优化方法大多时候采用二次规划（Quadratic Programming）。

• MPC控制器优化得到的控制输出也是系统在未来有限时间步的控制序列。 当然，由于理论构建的模型与系统真实模型都有误差，所以，实际上更远未来的控制输出对系统控制的价值很低，故MPC仅执行输出序列中的第一个控制输出。

模型(Model)

分为机理模型和基于数据的模型（例如用神经网络训练的一个model）使用基于数据的模型的MPC可以结合model based RL使用。

预测(Predict)

模型就是用来预测的，预测的目的是为了更好的决策

控制(Control)

控制即决策，根据预测来作出决策。

MPC利用一个已有的模型、系统当前的状态和未来的控制量，来预测系统未来的输出，然后与我们期望的系统输出做比较，得到一个损失函数（代价函数），即：

$$损失函数=(未来输出(模型，当前状态，未来控制量)-期望输出{)}^2$$

由于上式中模型、当前状态、期望输出都是已知的，因此只有未来控制量一个自变量。采用二次规划的方法求解出某个未来控制量，使得损失函数最小，前面提到，这个未来控制量的第一个元素就是当前控制周期的控制量。

1.1 MPC vs optimal control

最优控制（optimal control）指的是在一定的约束情况下达到最优状态的系统表现，其中约束情况通常是实际环境所带来的限制，例如汽车中的油门不能无限大等。

最优控制强调的是“最优”，一般最优控制需要在整个时间域上进行求优化(从0时刻到正无穷时刻的积分)，这样才能保证最优性，这是一种很贪婪的行为，需要消耗大量算力。同时，系统如果是一个时变系统，或者面临扰动的话，前一时刻得到的最优并不一定是下一时刻的最优值。

$$J={\int }_0^{\infty }{E}^{T}QE+U^{T}RUdt$$

最优控制常用解法有： 变分法，极大值原理，动态规划，LQR（LQR可以参考博客）。

MPC仅考虑未来几个时间步，一定程度上牺牲了最优性。

1.2 MPC优点

• MPC善于处理多输入多输出系统（MIMO）；

• MPC可以处理约束，如安全性约束，上下阈值；

• MPC是一种向前考虑未来时间步的有限时域优化方法（一定的预测能力）

  最优控制要求在整个时间优化

  实际上MPC采用了一个折中的策略，既不是像最优控制那样考虑整个时域，也不是仅仅考虑当前，而是考虑未来的有限时间域。

2. MPC整体流程

2.1 预测区间与控制区间

对于一般的离散化系统（因为实际计算机实现的控制系统都是离散的系统，连续系统可以进行离散化操作），在k时刻，我们可以测量出系统的当前状态$y(k)$，再通过计算得到的$u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+j)$得到系统未来状态的估计值$y(k+1),y(k+2)...y(k+j)$；

将预测状态估计的部分称为预测区间（Predictive Horizon）,指的是一次优化后预测未来输出的时间步的个数。

将控制估计的部分称为控制区间（Control Horizon），在得到最优输入之后，我们只施加当前时刻的输入u(k)，即控制区间的第一位控制输入。

如下图 $[k,k+m]$范围为控制区间，之后的红色部分称为 held constant，其中控制区间是要通过优化器来进行优化的参数。

过小的控制区间，可能无法做到较好的控制，而较大的控制区间，比如与预测区间相等，则会导致只有前一部分的控制范围才会有较好的效果，而后一部分的控制范围则收效甚微，而且将带来大量的计算开销。

2.2 约束

对于约束，一般分为Hard约束和Soft约束，Hard约束是不可违背必须遵守的，在控制系统中，输入输出都可能会有约束限制，但是在设计时不建议将输入输出都给予Hard约束，因为这两部的约束有可能是有重叠的，导致优化器会产生不可行解。

Hard约束不能违反，Soft约束可以；比如Hard约束是刹车踩的幅度；Soft约束是速度

建议输出采用Soft约束，而输入的话建议输入和输入参数变化率二者之间不要同时为Hard约束，可以一个Hard一个Soft。

2.3 MPC流程

模型预测控制在k时刻共需三步；

• 第一步：获取系统的当前状态；

• 第二步：基于$u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+m)$进行最优化处理；

  离散系统的代价函数可以参考

  $$J=\sum _k^{m-1}{E}_k^{T}Q{E}_k+u_k^{T}R{u}_k+E_N^{T}F{E}_N$$

  其中$E_N$表示误差的终值，也是衡量优劣的一种标准。

• 第三步：只取$u(k)$作为控制输入施加在系统上。

在下一时刻重复以上三步，在下一步进行预测时使用的就是下一步的状态值，我们将这样的方案称为滚动优化控制（Receding Horizon Control）。

预测控制的优化不是一次离线进行，而是随着采样时刻的前进反复地在线进行，故称为滚动优化。这种滚动优化虽然得不到理想的全局最优解，但是反复对每一采样时刻的偏差进行优化计算，将可及时地校正控制过程中出现的各种复杂情况。

2.4 MPC vs. LQR

从以下几个方面进行阐述：

• 研究对象：是否线性化
• 状态方程：是否离散化
• 目标函数：误差和控制量的极小值
• 工作时域：预测时域，控制时域，滚动优化，求解一次
• 求解方法：QP求解器，变分法求解黎卡提方程
• LQR和MPC的优缺点：滚动优化，求解时域，实时性，算力，工程常用方法

具体可参考博客

3. MPC设计

当模型是线性的时候（非线性系统可以线性化），MPC的设计求解一般使用二次规划方法。

设线性模型为以下形式：
$$x_{k+1}=A{x}_k+B{u}_k+C\text{\hspace{1em}(1)}$$

假定未来 $m$步的控制输入已知，为 $u_k,u_{k+1},u_{k+2},...,u_{k+m}$​，根据以上模型与输入，我们可以计算未来 $m$步的状态：

$$\begin{array}{rl}{x}_{k+1}& =A{x}_k+B{u}_k+C\\ x_{k+2}& =A{x}_{k+1}+B{u}_{k+1}+C=A(A{x}_k+B{u}_k+C)+B{u}_{k+1}+C=A^2{x}_k+AB{u}_k+B{u}_{k+1}+AC+C\\ x_{k+3}& =A^3{x}_k+A^{2}B{u}_k+A{B}_{k+1}+B{u}_{k+2}+A^{2}C+AC+C\\ ...& \\ x_{k+m}& =A^m{x}_k+A^{m-1}B{u}_k+A^{m-2}B{u}_{k+1}+...+A^{m-i}B{u}_{k+i-1}+...+B{u}_{k+m-1}+A^{m-1}C+A^{m-2}C+...+C\end{array}$$

将上面$m$步写成矩阵向量形式：

$$\mathcal{X}=\mathcal{A}{x}_k+\mathcal{B}\mathbf{u}+\mathcal{C}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中，
$$\mathcal{X}={\left[x_{k+1},x_{k+2},x_{k+3},...x_{k+m}\right]}^T$$
$$\mathbf{u}={\left[u_k,u_{k+1},u_{k+2},...,u_{k+m-1}\right]}^T$$
$$\mathcal{A}={\left[A,A^2,A^3,...,A^m\right]}^T$$

$$\mathcal{B}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& ...& 0\\ B& 0& ...& 0\\ AB& B& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ A^{m-1}B& A^{m-2}B& ...& B\end{array}\right)$$

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{c}C\\ AC+C\\ A^{2}C+AC+C\\ \dots \\ A^{k+m-1}C+\dots +C\end{array}\right]$$

上式$\mathcal{B}$中的下三角形式，直接反映了系统在时间上的因果关系，即$k+1$时刻的输入对$k$ 时刻的输出没有影响， $k+2$ 时刻的输入对 $k$ 和 $k+1$ 时刻没有影响。

假定参考轨迹为 $\overline{\mathcal{X}}={\left[\begin{array}{lllll}{\bar{x}}_{k+1}& {\bar{x}}_{k+2}& {\bar{x}}_{k+3}& \dots & {\bar{x}}_{k+m}\end{array}\right]}^T$,则MPC的一个简单的目标代价函数如下：
$$\begin{gathered} \min \mathcal{J}={\mathcal{E}}^{T}Q\mathcal{E}+{\mathbf{u}}^{T}R\mathbf{u} \\ \text{s.t. }{u}_{min}\le \mathbf{u}\le u_{max}\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

其中， $\mathcal{E}=\mathcal{X}-\overline{\mathcal{X}}={\left[\begin{array}{llll}{x}_{k+1}-{\bar{x}}_{k+1}& x_{k+2}-{\bar{x}}_{k+2}& \dots & x_{k+m}-{\bar{x}}_{k+m}\end{array}\right]}^T$

${\mathbf{u}}^{T}R\mathbf{u}$这一项是为了让控制输入不会太大，因此代价函数中添加了一项对控制量的约束。

将式(2)代入式(3)，则优化变量仅剩 $\mathbf{u}$。以上最优化问题可用二次规划方法求解，得到满足目标代价函数的最优控制序列 u = { u k , ​​ u k + 1 , ​​ u k + 2 ​​ . . . ​ u k + m − 1 } \mathbf{u}=\left\{u_k,​​u_{k+1},​​u_{k+2}​​...​u_{k+m−1}\right\} u={ uk​,​​uk+1​,​​uk+2​​​...​uk+m−1​}。

当转换成式（3）后，可以利用凸优化库进行二次规划求解，例如python的cvxopt，OSQP: An Operator Splitting Solver for Quadratic Programs，Casdi等。

4. MPC应用——无人车轨迹跟踪

4.1 MPC建模

设车辆的状态量偏差和控制量偏差如式 ( 4 ) 所示：
$$\tilde{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}\dot{x}-{\dot{x}}_r\\ \dot{y}-{\dot{y}}_r\\ \dot{\phi }-{\dot{\phi }}_r\end{array}\right],\tilde{\mathbf{u}}=\left[\begin{array}{c}v-v_r\\ \delta -{\delta }_r\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
基于先前的运动学模型的离散状态空间方程如下，
$$\tilde{\mathbf{x}}(k+1)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -T{v}_r\sin {\phi }_r\\ 0& 1& T{v}_r\cos {\phi }_r\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\tilde{\mathbf{x}}(k)+\left[\begin{array}{cc}T\cos {\phi }_r& 0\\ T\sin {\phi }_r& 0\\ T\frac{\tan {\delta }_r}{l}& T\frac{v_r}{l{\cos }^2{\delta }_r}\end{array}\right]\tilde{\mathbf{u}}(k)=\mathbf{A}\tilde{\mathbf{x}}(k)+\mathbf{B}\tilde{\mathbf{u}}(k)\text{\hspace{1em}(5)}$$

为了表示控制系统达到稳定控制所付出的代价，MPC控制的代价函数定义如下：
$$\min J(\mathbf{U})=\sum _{k=0}^{N-1}\left(\tilde{\mathbf{x}}(k{)}^{T}Q\tilde{\mathbf{x}}(k)+\tilde{\mathbf{u}}(k{)}^{T}R\tilde{\mathbf{u}}(k)\right)+\tilde{\mathbf{x}}(N{)}^T{Q}_f\tilde{\mathbf{x}}(N)\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中函数参数 $U=\left(u_0,u_1,\dots ,u_N\right)$ ，并且矩阵 $Q,Q_f,R$ 为正定矩阵，即
$$Q=Q^T\ge 0,Q_f=Q_f^T\ge 0,R=R^T>0$$

Q	Q_(f)	R
给定状态代价矩阵	最终状态代价矩阵	输入代价矩阵

• $N$ : 时间范围(Time Horizon)
• $Q，R$ : 分别设定状态偏差和输入的相对权重
• $R>0$ : 意味着任何非零输入都增加 $J$ 的代价
• $\tilde{\mathbf{x}}(k{)}^{T}Q\tilde{\mathbf{x}}(k)$ : 衡量状态偏差
• $\tilde{\mathbf{u}}(k{)}^{T}R\tilde{\mathbf{u}}(k)$ : 衡量输入大小
• $\tilde{\mathbf{x}}(N{)}^T{Q}_f\tilde{\mathbf{x}}(N)$ : 衡量最终状态偏差

对于公式(6)，它需要服从的约束条件包括
$$\{\begin{array}{rlr}& \text{运动学模型约束——}& \tilde{\mathbf{x}}(k+1)=\mathbf{A}\tilde{\mathbf{x}}(k)+\mathbf{B}\tilde{\mathbf{u}}(k)\\ & \text{控制量约束——}& \left|\tilde{\mathbf{u}}(k)\right|\le {\tilde{\mathbf{u}}}_{max}\\ & \text{初始状态——}& \tilde{\mathbf{x}}(0)={\tilde{\mathbf{x}}}_0\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

4.2 python代码实现

完整程序见GitHub仓库

4.2.1 参数

# mpc parameters
NX = 3  # x = x, y, yaw
NU = 2  # u = [v,delta]
T = 8  # horizon length
R = np.diag([0.1, 0.1])  # input cost matrix
Rd = np.diag([0.1, 0.1])  # input difference cost matrix
Q = np.diag([1, 1, 1])  # state cost matrix
Qf = Q  # state final matrix



#车辆
dt=0.1 # 时间间隔，单位：s
L=2 # 车辆轴距，单位：m
v = 2 # 初始速度
x_0=0 # 初始x
y_0=-3 #初始y
psi_0=0 # 初始航向角

MAX_STEER = np.deg2rad(45.0)  # maximum steering angle [rad]
MAX_DSTEER = np.deg2rad(45.0)  # maximum steering speed [rad/s]

MAX_VEL = 2.0  # maximum accel [m/s]

4.2.2 运动学模型

import math


class KinematicModel_3:
  """假设控制量为转向角delta_f和加速度a
  """

  def __init__(self, x, y, psi, v, L, dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.L = L
    # 实现是离散的模型
    self.dt = dt

  def update_state(self, a, delta_f):
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v

    def state_space(self, ref_delta, ref_yaw):
    """将模型离散化后的状态空间表达

    Args:
        ref_delta (_type_): 参考的转角控制量
        ref_yaw (_type_): 参考的偏航角

    Returns:
        _type_: _description_
    """

    A = np.matrix([
        [1.0, 0.0, -self.v*self.dt*math.sin(ref_yaw)],
        [0.0, 1.0, self.v*self.dt*math.cos(ref_yaw)],
        [0.0, 0.0, 1.0]])

    B = np.matrix([
        [self.dt*math.cos(ref_yaw), 0],
        [self.dt*math.sin(ref_yaw), 0],
        [self.dt*math.tan(ref_delta)/self.L, self.v*self.dt /(self.L*math.cos(ref_delta)*math.cos(ref_delta))]
    ])

    C = np.eye(3)
    return A, B, C

4.2.3 参考轨迹

class MyReferencePath:
    def __init__(self):
        # set reference trajectory
        # refer_path包括4维：位置x, 位置y， 轨迹点的切线方向, 曲率k 
        self.refer_path = np.zeros((1000, 4))
        self.refer_path[:,0] = np.linspace(0, 100, 1000) # x
        self.refer_path[:,1] = 2*np.sin(self.refer_path[:,0]/3.0)+2.5*np.cos(self.refer_path[:,0]/2.0) # y
        # 使用差分的方式计算路径点的一阶导和二阶导，从而得到切线方向和曲率
        for i in range(len(self.refer_path)):
            if i == 0:
                dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0]
                dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1]
                ddx = self.refer_path[2,0] + self.refer_path[0,0] - 2*self.refer_path[1,0]
                ddy = self.refer_path[2,1] + self.refer_path[0,1] - 2*self.refer_path[1,1]
            elif i == (len(self.refer_path)-1):
                dx = self.refer_path[i,0] - self.refer_path[i-1,0]
                dy = self.refer_path[i,1] - self.refer_path[i-1,1]
                ddx = self.refer_path[i,0] + self.refer_path[i-2,0] - 2*self.refer_path[i-1,0]
                ddy = self.refer_path[i,1] + self.refer_path[i-2,1] - 2*self.refer_path[i-1,1]
            else:      
                dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0]
                dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1]
                ddx = self.refer_path[i+1,0] + self.refer_path[i-1,0] - 2*self.refer_path[i,0]
                ddy = self.refer_path[i+1,1] + self.refer_path[i-1,1] - 2*self.refer_path[i,1]
            self.refer_path[i,2]=math.atan2(dy,dx) # yaw
            # 计算曲率:设曲线r(t) =(x(t),y(t)),则曲率k=(x'y" - x"y')/((x')^2 + (y')^2)^(3/2).
            # 参考：https://blog.csdn.net/weixin_46627433/article/details/123403726
            self.refer_path[i,3]=(ddy * dx - ddx * dy) / ((dx ** 2 + dy ** 2)**(3 / 2)) # 曲率k计算
            
    def calc_track_error(self, x, y):
        """计算跟踪误差

        Args:
            x (_type_): 当前车辆的位置x
            y (_type_): 当前车辆的位置y

        Returns:
            _type_: _description_
        """
        # 寻找参考轨迹最近目标点
        d_x = [self.refer_path[i,0]-x for i in range(len(self.refer_path))] 
        d_y = [self.refer_path[i,1]-y for i in range(len(self.refer_path))] 
        d = [np.sqrt(d_x[i]**2+d_y[i]**2) for i in range(len(d_x))]
        s = np.argmin(d) # 最近目标点索引


        yaw = self.refer_path[s, 2]
        k = self.refer_path[s, 3]
        angle = normalize_angle(yaw - math.atan2(d_y[s], d_x[s]))
        e = d[s]  # 误差
        if angle < 0:
            e *= -1

        return e, k, yaw, s
        
    def calc_ref_trajectory(self, robot_state, dl=1.0):
        """计算参考轨迹点，统一化变量数组，便于后面MPC优化使用
            参考自https://github.com/AtsushiSakai/PythonRobotics/blob/eb6d1cbe6fc90c7be9210bf153b3a04f177cc138/PathTracking/model_predictive_speed_and_steer_control/model_predictive_speed_and_steer_control.py
        Args:
            robot_state (_type_): 车辆的状态(x,y,yaw,v)
            dl (float, optional): _description_. Defaults to 1.0.

        Returns:
            _type_: _description_
        """
        e, k, ref_yaw, ind = self.calc_track_error(robot_state[0], robot_state[1])

        xref = np.zeros((NX, T + 1))
        dref = np.zeros((NU, T)) # 参考控制量
        ncourse = len(self.refer_path)


        xref[0, 0] = self.refer_path[ind,0]
        xref[1, 0] = self.refer_path[ind, 1]
        xref[2, 0] = self.refer_path[ind, 2]

        # 参考控制量[v,delta]
        ref_delta = math.atan2(L*k, 1)
        dref[0, :] = robot_state[3]
        dref[1, :] = ref_delta

        travel = 0.0

        for i in range(T + 1):
            travel += abs(robot_state[3]) * dt
            dind = int(round(travel / dl))

            if (ind + dind) < ncourse:
                xref[0, i] = self.refer_path[ind + dind,0]
                xref[1, i] = self.refer_path[ind + dind,1]
                xref[2, i] = self.refer_path[ind + dind,2]


            else:
                xref[0, i] = self.refer_path[ncourse - 1,0]
                xref[1, i] = self.refer_path[ncourse - 1,1]
                xref[2, i] = self.refer_path[ncourse - 1,2]


        return xref, ind, dref

4.2.4 矩阵拍平

def get_nparray_from_matrix(x):
    return np.array(x).flatten()

4.2.5 角度归一化到[-pi，pi]

def normalize_angle(angle):
    """
    Normalize an angle to [-pi, pi].

    :param angle: (float)
    :return: (float) Angle in radian in [-pi, pi]
    copied from https://atsushisakai.github.io/PythonRobotics/modules/path_tracking/stanley_control/stanley_control.html
    """
    while angle > np.pi:
        angle -= 2.0 * np.pi

    while angle < -np.pi:
        angle += 2.0 * np.pi

    return angle

4.2.6 MPC控制实现

def linear_mpc_control(xref, x0, delta_ref,ugv):
    """
    linear mpc control

    xref: reference point
    x0: initial state
    delta_ref: reference steer angle
    ugv:车辆对象
    """

    x = cvxpy.Variable((NX, T + 1))
    u = cvxpy.Variable((NU, T)) 

    cost = 0.0  # 代价函数
    constraints = []  # 约束条件

    for t in range(T):
        cost += cvxpy.quad_form(u[:, t]-delta_ref[:,t], R)

        if t != 0:
            cost += cvxpy.quad_form(x[:, t] - xref[:, t], Q)

        A, B, C = ugv.state_space(delta_ref[1,t], xref[2,t])
        constraints += [x[:, t + 1]-xref[:, t+1] == A @ (x[:, t]-xref[:, t]) + B @ (u[:, t]-delta_ref[:,t]) ]


    cost += cvxpy.quad_form(x[:, T] - xref[:, T], Qf)

    constraints += [(x[:, 0]) == x0]
    constraints += [cvxpy.abs(u[0, :]) <= MAX_VEL]
    constraints += [cvxpy.abs(u[1, :]) <= MAX_STEER]

    prob = cvxpy.Problem(cvxpy.Minimize(cost), constraints)
    prob.solve(solver=cvxpy.ECOS, verbose=False)

    if prob.status == cvxpy.OPTIMAL or prob.status == cvxpy.OPTIMAL_INACCURATE:
        opt_x = get_nparray_from_matrix(x.value[0, :])
        opt_y = get_nparray_from_matrix(x.value[1, :])
        opt_yaw = get_nparray_from_matrix(x.value[2, :])
        opt_v = get_nparray_from_matrix(u.value[0, :])
        opt_delta = get_nparray_from_matrix(u.value[1, :])

    else:
        print("Error: Cannot solve mpc..")
        opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw = None, None, None, None, None, 

    return opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw

4.2.7 主函数

from celluloid import Camera # 保存动图时用，pip install celluloid
# 使用随便生成的轨迹
def main():

    reference_path = MyReferencePath()
    goal = reference_path.refer_path[-1,0:2]



    # 运动学模型
    ugv = KinematicModel_3(x_0, y_0, psi_0, v, L, dt)
    x_ = []
    y_ = []
    fig = plt.figure(1)
    # 保存动图用
    camera = Camera(fig)
    # plt.ylim([-3,3])
    for i in range(500):
        robot_state = np.zeros(4)
        robot_state[0] = ugv.x
        robot_state[1] = ugv.y
        robot_state[2]=ugv.psi
        robot_state[3]=ugv.v
        x0 = robot_state[0:3]
        xref, target_ind, dref = reference_path.calc_ref_trajectory(robot_state)
        opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw = linear_mpc_control(xref, x0, dref, ugv)
        ugv.update_state(0, opt_delta[0])  # 加速度设为0，恒速

        x_.append(ugv.x)
        y_.append(ugv.y)

        # 显示动图
        plt.cla()
        plt.plot(reference_path.refer_path[:,0], reference_path.refer_path[:,1], "-.b",  linewidth=1.0, label="course")
        plt.plot(x_, y_, "-r", label="trajectory")
        plt.plot(reference_path.refer_path[target_ind,0], reference_path.refer_path[target_ind,1], "go", label="target")
        # plt.axis("equal")
        plt.grid(True)
        plt.pause(0.001)

        # camera.snap()
        # 判断是否到达最后一个点
        if np.linalg.norm(robot_state[0:2]-goal)<=0.1:
            print("reach goal")
            break
    # animation = camera.animate()
    # animation.save('trajectory.gif')

if __name__=='__main__':
    main()

跟踪效果如下：

（跟踪效果不是很好，我并没有进一步调整，就先这样吧···。）

5. MPC开源库/程序

• do-mpc
• mpc.pytorch