递推算法及常见示例（C++、Python实现）

递推算法是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法，它是一种序列计算中的常用算法。通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值。其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。递推关系通常表示为一种递推公式。

下面是一些常见的例子。

★斐波那契数列：斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列是一种经典的递推问题，它的定义是：f(0)=0，f(1)=1，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。通过这个递推关系式，可以求解斐波那契数列的第 n 项。

☆C++实现：

#include <iostream>  
using namespace std;  

int main() {  
    int n;  
    cout << "请输入项数 n 的值： ";  
    cin >> n; 
	
	if (n <= 1) {  
        return n;  
    }  
    int f1 = 0, f2 = 1, fn;  
    for (int i = 2; i <= n; i++) {  
        fn = f1 + f2;  
        f1 = f2;  
        f2 = fn;  
    }  
    
    cout << "斐波那契数列的第 " << n << " 项为：" << fn << endl;  
    return 0;  
}

下面改用使用自定义函数实现：

#include <iostream>  
using namespace std;  
  
int fibonacci(int n) {  
    if (n <= 1) {  
        return n;  
    }  
    int f1 = 0, f2 = 1, fn;  
    for (int i = 2; i <= n; i++) {  
        fn = f1 + f2;  
        f1 = f2;  
        f2 = fn;  
    }  
    return fn;  
}  
  
int main() {  
    int n;  
    cout << "请输入项数 n 的值： ";  
    cin >> n;  
    cout << "斐波那契数列的第 " << n << " 项为：" << fibonacci(n) << endl;  
    return 0;  
}

☆Python实现：

n = int(input("请输入 n 的值："))
if n <= 1:  
    fn = n

f1, f2 = 0, 1 

for i in range(2, n+1):  
    fn = f1 + f2  
    f1, f2 = f2, fn
        
print("斐波那契数列的第 {} 项为：{}".format(n, fn))

下面改用使用自定义函数实现：

def fibonacci(n):  
    if n <= 1:  
        return n
  
    f1, f2 = 0, 1 
 
    for i in range(2, n+1):  
        fn = f1 + f2  
        f1, f2 = f2, fn  
    return fn  

n = int(input("请输入 n 的值："))  
print("斐波那契数列的第 {} 项为：{}".format(n, fibonacci(n)))

★等差数列求和： 1, 3, 5, 7, 9 是一个公差为 2 的等差数列。等差数列的求和问题可以通过递推算法解决。设等差数列的首项为 a1，公差为 d，第 n 项为 an，则 an=a1+(n-1)d。要求等差数列的前 n 项和，可以递推得到：Sn=a1+a2+...+an=n/2[2a1+(n-1)d]。

☆C++实现：

#include <iostream>  
using namespace std;

int main() {  
    int a1, d, n;  
    cout << "输入第一项、公差和项数：";  
    cin >> a1 >> d >> n;  
    int sum = 0;  
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  
        sum += a1 + (i - 1) * d;  
    }  
    cout << "等差数列的前 " << n << " 项和为：" << sum << endl;  
    return 0;  
}

☆Python实现：

a1 = int(input("输入第一项: "))  
d = int(input("输入公差: "))  
n = int(input("输入项数: "))  
sum = 0  
for i in range(1, n+1):  
    sum += a1 + (i - 1) * d
    
print("等差数列的前 {} 项和为：{}".format(n,sum))

★等比数列求和：1, 2, 4, 8, 16 是一个公比为 2 的等比数列。等比数列的求和问题也可以通过递推算法解决。设等比数列的首项为 a1，公比为 r，第 n 项为 an，则 an=a1r^(n-1)。要求等比数列的前 n 项和，可以递推得到：Sn=a1(1-r^n)/(1-r)。

☆C++实现：

#include <iostream>
#include <cmath> // 引入 pow()
using namespace std;

int main() {    
    double a1, r, n;    
    cout << "输入第一项、公比和项数：";    
    cin >> a1 >> r >> n;    
    double sum = 0;    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {    
        sum += a1 * pow(r, i - 1);    
    }    
    cout << "等比数列的前 " << n << " 项和为：" << sum << endl;    
    return 0;    
}

☆Python实现：

a1 = float(input("输入第一项："))  
r = float(input("输入公比："))  
n = int(input("输入项数："))  
  
sum = 0  
for i in range(1, n + 1):  
    sum += a1 * (r ** (i - 1))  
  
print("等比数列的前 {} 项和为：{}".format(n, sum))

附、递推、递归和迭代区别

递推是通过已知序列元素来计算其他元素，递归是函数调用自身，迭代是通过重复执行操作来解决问题。

递归和迭代可参见：https://blog.csdn.net/cnds123/article/details/132409886

递推算法及常见示例（C++、Python实现）

递推算法及常见示例（C++、Python实现）

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