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符号说明:
- 上标 ( l ) (l) (l) 是指该元素属于第 l l l 层
- 下标 i i i 是指该元素是当前层的第 i i i 个元素
- y y y 是指一层的输出
- w i j w_{ij} wij 是指权重,连接上一层的第 i i i 个输出,和下一层的第 j j j 个神经元
- Σ \Sigma Σ 是指加权求和
- φ \varphi φ 是指激活函数
- η \eta η 是指学习率
说明:本博客中省略下标或者下标不全的情况
- 比如 φ ( b ) \varphi^{(b)} φ(b) 没有下标,是因为 ( b ) (b) (b) 层只有一种激活函数;
- 比如写成 w i w_{i} wi 而非 w i j w_{ij} wij,是因为下一层只有一个神经元;
- 但有些时候只有一个输出时,我也加了下标,比如 y 1 ( 0 ) y_{1}^{(0)} y1(0)。
1 正向传播
- 假设一个层包含的是:权重、激活函数。
- 记权重为 w i ( l ) w^{(l)}_i wi(l),其中 ( l ) (l) (l) 代表权重所属的层, i i i 表示该权重是当前层中的第 i i i 个权重。记神经元输入经求和后的值为 v ( l ) v^{(l)} v(l),经激活函数后的输出为 y ( l ) y^{(l)} y(l)。
- 上图中 y i ( a ) y^{(a)}_i yi(a) 是 ( a ) (a) (a) 层的输出, ( b ) (b) (b) 层的输入, y ( b ) y^{(b)} y(b) 是 ( b ) (b) (b) 层的输出。假设 ( b ) (b) (b) 层只有一个神经元和一个输出,因此其激活函数和输出没有下标。
上图中的数学关系
v ( b ) = ∑ i = 0 n w i ( b ) y i ( a ) y ( b ) = φ ( b ) ( v ( b ) ) \begin{alignat}{2} \nonumber v^{(b)} =& \sum_{i=0}^{n}w^{(b)}_i y^{(a)}_i \\ \nonumber y^{(b)} =& \varphi^{(b)}(v^{(b)}) \end{alignat}{} v(b)=y(b)=i=0∑nwi(b)yi(a)φ(b)(v(b))
2 反向传播
- 假设 ( b ) (b) (b) 层就是输出层,它的输出 y ( b ) y^{(b)} y(b) 经损失函数后得到 ε \varepsilon ε。
2.1 输出层神经元的梯度
注意:不管是神经元还是权重的梯度,都是损失函数 ε \varepsilon ε 对其进行求导。
记 δ ( l ) \delta^{(l)} δ(l) 为 ( l ) (l) (l) 层神经元的梯度, ( b ) (b) (b) 层神经元的梯度为:
δ ( b ) = ∂ ε ∂ v ( b ) = ∂ ε ∂ y ( b ) ∗ ∂ y ( b ) ∂ v ( b ) = ∂ ε ∂ y ( b ) ∗ φ ′ ( b ) ( v ( b ) ) \delta^{(b)}=\frac{\partial \varepsilon}{\partial v^{(b)}} =\frac{\partial \varepsilon}{\partial y^{(b)}} * \frac{\partial y^{(b)}}{\partial v^{(b)}} =\frac{\partial \varepsilon}{\partial y^{(b)}} * \varphi'^{(b)}(v^{(b)}) δ(b)=∂v(b)∂ε=∂y(b)∂ε∗∂v(b)∂y(b)=∂y(b)∂ε∗φ′(b)(v(b))
上式无非就是利用求导的链式法则进行展开。
2.2 前一层神经元的梯度
刚才我们已经得到了输出层 ( b ) (b) (b) 的神经元梯度,现在可以根据 ( b ) (b) (b) 层的神经元梯度求得 ( a ) (a) (a) 层的神经元梯度,即利用 δ ( b ) \delta^{(b)} δ(b) 求得 δ i ( a ) \delta_i^{(a)} δi(a),计算过程如下:
δ 1 ( a ) = ∂ ε ∂ v 1 ( a ) = ∂ ε ∂ v ( b ) ∗ ∂ v ( b ) ∂ y 1 ( a ) ∗ ∂ y 1 ( a ) ∂ v 1 ( a ) = δ ( b ) ∗ w 1 ( b ) ∗ φ ′ ( a ) ( v 1 ( a ) ) \begin{alignat}{2} \nonumber \delta^{(a)}_1 =& \frac{\partial \varepsilon}{\partial v^{(a)}_1} = \frac{\partial \varepsilon}{\partial v^{(b)}} * \frac{\partial v^{(b)}}{\partial y^{(a)}_1} * \frac{\partial y^{(a)}_1}{\partial v^{(a)}_1} \\ \nonumber =& \delta^{(b)} * w^{(b)}_1 * \varphi'^{(a)}(v^{(a)}_1) \end{alignat}{} δ1(a)==∂v1(a)∂ε=∂v(b)∂ε∗∂y1(a)∂v(b)∗∂v1(a)∂y1(a)δ(b)∗w1(b)∗φ′(a)(v1(a))
说明:这里求的是 ( a ) (a) (a) 层第一个神经元的梯度,对该层其他神经元同理。
推广到一般情况
假设 ( b ) (b) (b) 层有 m m m 个神经元(而非只有 1 1 1 个神经元),且已得到 ( b ) (b) (b) 层的神经元梯度 δ 1 ( b ) , . . . , δ m ( b ) \delta^{(b)}_1,...,\delta^{(b)}_m δ1(b),...,δm(b),需要求解 ( a ) (a) (a) 层第一个神经元的梯度 δ 1 ( a ) \delta^{(a)}_1 δ1(a)。我们需要使用到的连接关系如下图所示:
推导过程如下:
δ 1 ( a ) = ∂ ε ∂ v 1 ( a ) = ∑ i = 1 m ∂ ε ∂ v i ( b ) ∗ ∂ v i ( b ) ∂ y 1 ( a ) ∗ ∂ y 1 ( a ) ∂ v 1 ( a ) = ∑ i = 1 m δ i ( b ) ∗ w 1 i ( b ) ∗ φ 1 ′ ( a ) ( v 1 ( a ) ) = φ 1 ′ ( a ) ( v 1 ( a ) ) ∗ ∑ i = 1 m δ i ( b ) ∗ w 1 i ( b ) \begin{alignat}{2} \nonumber \delta^{(a)}_1 =& \frac{\partial \varepsilon}{\partial v^{(a)}_1} = \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial v_i^{(b)}} * \frac{\partial v_i^{(b)}}{\partial y^{(a)}_1} * \frac{\partial y^{(a)}_1}{\partial v^{(a)}_1} \\ \nonumber =& \sum_{i=1}^{m} \delta^{(b)}_i * w^{(b)}_{1i} * \varphi'^{(a)}_1(v^{(a)}_1) \\ \nonumber =& \varphi'^{(a)}_1(v^{(a)}_1) * \sum_{i=1}^{m} \delta^{(b)}_i * w^{(b)}_{1i} \end{alignat}{} δ1(a)===∂v1(a)∂ε=i=1∑m∂vi(b)∂ε∗∂y1(a)∂vi(b)∗∂v1(a)∂y1(a)i=1∑mδi(b)∗w1i(b)∗φ1′(a)(v1(a))φ1′(a)(v1(a))∗i=1∑mδi(b)∗w1i(b)
2.3 权重的梯度
此前我们计算的都是神经元的梯度,现在计算权重的梯度,连接关系如下图所示:
已知 ( b ) (b) (b) 层的神经元梯度 δ j ( b ) , j = 1 , . . . , m \delta^{(b)}_j,j=1,...,m δj(b),j=1,...,m,需要求 ( b ) (b) (b) 层的权重梯度。推导过程如下:
∂ ε ∂ w i j ( b ) = ∂ ε ∂ v j ( b ) ∗ ∂ v j ( b ) ∂ w i j ( b ) = δ j ( b ) ∗ y i ( a ) \frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{ij}^{(b)}}= \frac{\partial \varepsilon}{\partial v_{j}^{(b)}} * \frac{\partial v_{j}^{(b)}}{\partial w_{ij}^{(b)}}= \delta_{j}^{(b)}*y_{i}^{(a)} ∂wij(b)∂ε=∂vj(b)∂ε∗∂wij(b)∂vj(b)=δj(b)∗yi(a)
3 算法举例
- 训练样本 1 1 1 个: τ = { ( x , d ) } \tau =\{(x,d)\} τ={(x,d)},其中 x = 1 , d = 1 x=1,\ d=1 x=1, d=1( d d d 是 label)
- 隐藏层使用 Sigmoid 激活函数: φ ( l ) ( x ) = 1 1 + e − x , l ∈ { 1 , 2 } \varphi^{(l)}(x)=\frac{1}{1+e^{-x}},\ l\in\{1,2\} φ(l)(x)=1+e−x1, l∈{
1,2}
- 求导为: φ ′ ( l ) ( x ) = φ ( l ) ( x ) ( 1 − φ ( l ) ( x ) ) \varphi'^{(l)}(x)=\varphi^{(l)}(x)(1-\varphi^{(l)}(x)) φ′(l)(x)=φ(l)(x)(1−φ(l)(x))
- 输出层使用线性激活函数: φ ( l ) ( x ) = x , l ∈ { 3 } \varphi^{(l)}(x)=x,\ l\in\{3\} φ(l)(x)=x, l∈{ 3}
- 损失函数: ε = 1 2 ( d − y ( l ) ) 2 , l ∈ { 3 } \varepsilon =\frac{1}{2}(d-y^{(l)})^2,\ l\in\{3\} ε=21(d−y(l))2, l∈{ 3}
- 初始权重为 0.5 0.5 0.5,学习率 η \eta η 为 0.5 0.5 0.5
这里为了计算方便而将权重全部初始化为 0.5 0.5 0.5,导致各层中不同神经元输出的值是相同的。
3.1 前向传播
下图中红字表示权重,黑色方框是中间计算结果
- 输入值为 1 1 1
- 经权重 0.5 0.5 0.5 后值为 0.5 0.5 0.5
- 经神经元 A 的 Sigmoid 激活函数后值为 0.6225 0.6225 0.6225(对神经元 B 同理)
- 经加权求和后值为 0.6225 0.6225 0.6225,即 0.5 ∗ 0.6225 + 0.5 ∗ 0.6225 0.5*0.6225+0.5*0.6225 0.5∗0.6225+0.5∗0.6225
- 经神经元 C 的 Sigmoid 激活函数后值为 0.6508 0.6508 0.6508(对神经元 D 同理)
- 经加权求和后值为 0.6508 0.6508 0.6508,即 0.5 ∗ 0.6508 + 0.5 ∗ 0.6508 0.5*0.6508+0.5*0.6508 0.5∗0.6508+0.5∗0.6508
- 经神经元 D 的线性激活函数后值为 0.6508 0.6508 0.6508
- 即输出值为 0.6508 0.6508 0.6508
3.2 反向传播
a)输出层神经元的梯度
输出层是神经元 E 的所属层
放正向传播的图是为了方便查看数据
δ ( 3 ) = ∂ ε ∂ v ( 3 ) = ∂ ε ∂ y ( 3 ) ∗ ∂ y ( 3 ) ∂ v ( 3 ) = ∂ ( 1 2 ( d − y ( 3 ) ) 2 ) / ∂ y ( 3 ) ∗ φ ′ ( 3 ) ( v ( 3 ) ) = ( y ( 3 ) − d ) ∗ φ ′ ( 3 ) ( v ( 3 ) ) \begin{alignat}{2} \nonumber \delta^{(3)} =& \frac{\partial \varepsilon}{\partial v^{(3)}} = \frac{\partial \varepsilon}{\partial y^{(3)}} * \frac{\partial y^{(3)}}{\partial v^{(3)}} \\ \nonumber =& \partial \left (\frac{1}{2}(d-y^{(3)})^2 \right )/ \partial y^{(3)} * \varphi'^{(3)}(v^{(3)}) \\ \nonumber =& (y^{(3)}-d) * \varphi'^{(3)}(v^{(3)}) \end{alignat}{} δ(3)===∂v(3)∂ε=∂y(3)∂ε∗∂v(3)∂y(3)∂(21(d−y(3))2)/∂y(3)∗φ′(3)(v(3))(y(3)−d)∗φ′(3)(v(3))
代入输出值 y ( 3 ) = 0.6508 y^{(3)}=0.6508 y(3)=0.6508 和 label 值 d = 1 d=1 d=1,以及 φ ′ ( 3 ) ( x ) = 1 \varphi'^{(3)}(x)=1 φ′(3)(x)=1 得
δ ( 3 ) = ( 0.6508 − 1 ) ∗ 1 = − 0.3492 \delta^{(3)} = (0.6508-1)*1=-0.3492 δ(3)=(0.6508−1)∗1=−0.3492
b)第二层隐藏层神经元的梯度
第二层隐藏层是神经元 C、D 的所属层
直接套用之前得到的公式:
δ 1 ( a ) = φ ′ ( a ) ( v 1 ( a ) ) ∗ ∑ i = 1 m δ i ( b ) ∗ w 1 i ( b ) \delta^{(a)}_1 = \varphi'^{(a)}(v^{(a)}_1) * \sum_{i=1}^{m} \delta^{(b)}_i * w^{(b)}_{1i} δ1(a)=φ′(a)(v1(a))∗i=1∑mδi(b)∗w1i(b)
得到第二层隐藏层第一个神经元的梯度:
δ 1 ( 2 ) = φ ′ ( 2 ) ( v 1 ( 2 ) ) ∗ ∑ i = 1 1 δ i ( 3 ) ∗ w 1 i ( 3 ) = φ ( 2 ) ( v 1 ( 2 ) ) ( 1 − φ ( 2 ) ( v 1 ( 2 ) ) ) ∗ δ 1 ( 3 ) ∗ w 11 ( 3 ) = 0.6508 ∗ ( 1 − 0.6508 ) ∗ ( − 0.3492 ) ∗ 0.5 = − 0.0397 \begin{alignat}{2} \nonumber \delta^{(2)}_1 =& \varphi'^{(2)}(v^{(2)}_1) * \sum_{i=1}^{1} \delta^{(3)}_i * w^{(3)}_{1i} \\ \nonumber =& \varphi^{(2)}(v^{(2)}_1)(1-\varphi^{(2)}(v^{(2)}_1)) * \delta^{(3)}_1 * w^{(3)}_{11} \\ \nonumber =& 0.6508*(1-0.6508)*(-0.3492)*0.5 \\ \nonumber =& -0.0397 \end{alignat}{} δ1(2)====φ′(2)(v1(2))∗i=1∑1δi(3)∗w1i(3)φ(2)(v1(2))(1−φ(2)(v1(2)))∗δ1(3)∗w11(3)0.6508∗(1−0.6508)∗(−0.3492)∗0.5−0.0397
由于权重和激活函数都相同,因此
δ 2 ( 2 ) = δ 1 ( 2 ) = − 0.0397 \delta^{(2)}_2=\delta^{(2)}_1=-0.0397 δ2(2)=δ1(2)=−0.0397
c)第一层隐藏层神经元的梯度
第一层隐藏层是神经元 A、B 的所属层
直接套用之前得到的公式:
δ 1 ( a ) = φ ′ ( a ) ( v 1 ( a ) ) ∗ ∑ i = 1 m δ i ( b ) ∗ w 1 i ( b ) \delta^{(a)}_1 = \varphi'^{(a)}(v^{(a)}_1) * \sum_{i=1}^{m} \delta^{(b)}_i * w^{(b)}_{1i} δ1(a)=φ′(a)(v1(a))∗i=1∑mδi(b)∗w1i(b)
得到第一层隐藏层第一个神经元的梯度:
δ 1 ( 1 ) = φ ′ ( 1 ) ( v 1 ( 1 ) ) ∗ ∑ i = 1 2 δ i ( 2 ) ∗ w 1 i ( 2 ) = φ ( 1 ) ( v 1 ( 1 ) ) ( 1 − φ ( 1 ) ( v 1 ( 1 ) ) ) ∗ ( δ 1 ( 2 ) ∗ w 11 ( 2 ) + δ 2 ( 2 ) ∗ w 12 ( 2 ) ) = 0.6225 ∗ ( 1 − 0.6225 ) ∗ ( − 0.0397 ∗ 0.5 − 0.0397 ∗ 0.5 ) ≈ − 0.0093 \begin{alignat}{2} \nonumber \delta^{(1)}_1 =& \varphi'^{(1)}(v^{(1)}_1) * \sum_{i=1}^{2} \delta^{(2)}_i * w^{(2)}_{1i} \\ \nonumber =& \varphi^{(1)}(v^{(1)}_1)(1-\varphi^{(1)}(v^{(1)}_1)) * (\delta^{(2)}_1 * w^{(2)}_{11} + \delta^{(2)}_2 * w^{(2)}_{12}) \\ \nonumber =& 0.6225*(1-0.6225)*(-0.0397*0.5-0.0397*0.5) \\ \nonumber \approx& -0.0093 \end{alignat}{} δ1(1)===≈φ′(1)(v1(1))∗i=1∑2δi(2)∗w1i(2)φ(1)(v1(1))(1−φ(1)(v1(1)))∗(δ1(2)∗w11(2)+δ2(2)∗w12(2))0.6225∗(1−0.6225)∗(−0.0397∗0.5−0.0397∗0.5)−0.0093
由于权重和激活函数都相同,因此
δ 2 ( 1 ) = δ 1 ( 1 ) = − 0.0093 \delta^{(1)}_2=\delta^{(1)}_1=-0.0093 δ2(1)=δ1(1)=−0.0093
d)各层权重的梯度
直接套用之前得到的公式:
∂ ε ∂ w i j ( b ) = δ j ( b ) ∗ y i ( a ) \frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{ij}^{(b)}}= \delta_{j}^{(b)}*y_{i}^{(a)} ∂wij(b)∂ε=δj(b)∗yi(a)
第一层隐藏层权重的梯度:
∂ ε ∂ w 11 ( 1 ) = ∂ ε ∂ w 12 ( 1 ) = δ 1 ( 1 ) ∗ y 1 ( 0 ) = − 0.0093 ∗ 1 = − 0.0093 \begin{alignat}{2} \nonumber \frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{11}^{(1)}} =&\frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{12}^{(1)}} =\delta_{1}^{(1)}*y_{1}^{(0)} \\ \nonumber =&-0.0093*1=-0.0093 \end{alignat}{} ∂w11(1)∂ε==∂w12(1)∂ε=δ1(1)∗y1(0)−0.0093∗1=−0.0093
( 0 ) (0) (0) 层的输出 y 1 ( 0 ) y_{1}^{(0)} y1(0) 就是神经网络的输入 x = 1 x=1 x=1
第二层隐藏层权重的梯度:
∂ ε ∂ w 11 ( 2 ) = ∂ ε ∂ w 12 ( 2 ) = ∂ ε ∂ w 21 ( 2 ) = ∂ ε ∂ w 22 ( 2 ) = δ 1 ( 2 ) ∗ y 1 ( 1 ) = − 0.0397 ∗ 0.6225 ≈ − 0.0247 \begin{alignat}{2} \nonumber \frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{11}^{(2)}} =\frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{12}^{(2)}} =\frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{21}^{(2)}} =&\frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{22}^{(2)}} =\delta_{1}^{(2)}*y_{1}^{(1)} \\ \nonumber =&-0.0397*0.6225 \approx-0.0247 \end{alignat}{} ∂w11(2)∂ε=∂w12(2)∂ε=∂w21(2)∂ε==∂w22(2)∂ε=δ1(2)∗y1(1)−0.0397∗0.6225≈−0.0247
第三层隐藏层权重的梯度:
∂ ε ∂ w 11 ( 3 ) = ∂ ε ∂ w 21 ( 3 ) = δ 1 ( 3 ) ∗ y 1 ( 2 ) = − 0.3492 ∗ 0.6508 ≈ − 0.2273 \begin{alignat}{2} \nonumber \frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{11}^{(3)}} =&\frac{\partial \varepsilon}{\partial w_{21}^{(3)}} =\delta_{1}^{(3)}*y_{1}^{(2)} \\ \nonumber =&-0.3492*0.6508 \approx-0.2273 \end{alignat}{} ∂w11(3)∂ε==∂w21(3)∂ε=δ1(3)∗y1(2)−0.3492∗0.6508≈−0.2273
3.3 梯度更新
梯度下降的更新公式为:
w i j ( l ) = w i j ( l ) − η ∗ ∂ ε ∂ w i j ( l ) w^{(l)}_{ij}=w^{(l)}_{ij}-\eta * \frac{\partial \varepsilon }{\partial w^{(l)}_{ij}} wij(l)=wij(l)−η∗∂wij(l)∂ε
代入刚才得到的权重梯度,得到:
w i j ( 1 ) = w i j ( 1 ) − η ∗ ∂ ε ∂ w i j ( 1 ) = 0.5 − 0.5 ∗ ( − 0.0093 ) = 0.5047 w i j ( 2 ) = w i j ( 2 ) − η ∗ ∂ ε ∂ w i j ( 2 ) = 0.5 − 0.5 ∗ ( − 0.0247 ) ≈ 0.5124 w i j ( 3 ) = w i j ( 3 ) − η ∗ ∂ ε ∂ w i j ( 3 ) = 0.5 − 0.5 ∗ ( − 0.2273 ) ≈ 0.6137 \begin{alignat}{2} \nonumber w^{(1)}_{ij} =&w^{(1)}_{ij}-\eta * \frac{\partial \varepsilon }{\partial w^{(1)}_{ij}} =0.5-0.5*(-0.0093)=0.5047 \\ \nonumber w^{(2)}_{ij} =&w^{(2)}_{ij}-\eta * \frac{\partial \varepsilon }{\partial w^{(2)}_{ij}} =0.5-0.5*(-0.0247)\approx 0.5124 \\ \nonumber w^{(3)}_{ij} =&w^{(3)}_{ij}-\eta * \frac{\partial \varepsilon }{\partial w^{(3)}_{ij}} =0.5-0.5*(-0.2273)\approx 0.6137 \\ \nonumber \end{alignat}{} wij(1)=wij(2)=wij(3)=wij(1)−η∗∂wij(1)∂ε=0.5−0.5∗(−0.0093)=0.5047wij(2)−η∗∂wij(2)∂ε=0.5−0.5∗(−0.0247)≈0.5124wij(3)−η∗∂wij(3)∂ε=0.5−0.5∗(−0.2273)≈0.6137
更新结果如下图所示:
说明:由于这里每层的权重相同,因此用 w i j ( l ) w^{(l)}_{ij} wij(l) 统一指代 ( l ) (l) (l) 层的各个权重,比如 w i j ( 2 ) w^{(2)}_{ij} wij(2) 指的是 ( 2 ) (2) (2) 层的各个权重。而在实际操作中,通常初始权重并不相同,应该分开计算梯度和更新权重。