【永磁同步电机（PMSM）】1. 基本结构与工作原理
【永磁同步电机（PMSM）】2. 数学模型与坐标变换
【永磁同步电机（PMSM）】3. 基于Matlab 的仿真与控制
【永磁同步电机（PMSM）】4. 同步旋转坐标系仿真模型
【永磁同步电机（PMSM）】5. PMSM 的仿真模型
【永磁同步电机（PMSM）】6. 矢量空间算法（SVPWM）
【永磁同步电机（PMSM）】7. 磁场定向控制（FOC）的原理与仿真
【永磁同步电机（PMSM）】8. 位置观测器的原理与仿真模型
【永磁同步电机（PMSM）】9. 滑模观测器（SMO）的算法与仿真
【永磁同步电机（PMSM）】 4. 同步旋转坐标系仿真模型
由于电机处于高速旋转运动状态，在 abc 三相静止坐标系（自然坐标系）所建立的 PMSM 数学模型，存在复杂的变量耦合，难以分析和求解。
通过数学变换将 abc 三相静止坐标系转换到 αβ两相静止坐标系 和 dq 同步旋转坐标系，可以对模型进行解耦和简化。本节讨论坐标系变换的模型与仿真。
从abc 三相静止坐标系中由3个微分方程描述的三相永磁同步电机标准数学模型开始，我们可以通过的 Clarke 变换转换到 αβ两相静止坐标系，然后使用 Park 变换将方程从时域转换到拉普拉斯域，模型由2个简单的线性代数方程描述，如图所示。
1. Clarke 变换的模型与仿真
1.1 Clarke 变换
通过Clarke变换（有些文献也写作 Clark 变换）将 abc 三相静止坐标系转换到 αβ两相静止坐标系，记为 T 3 s / 2 s T_{3s/2s} T3s/2s。
两相静止坐标系中的信号相互正交，更容易分离基波分量和谐波分量。对于 PMSM，假设虚拟电机有两个虚拟绕组，呈90°轴距分布，在定子槽中呈正弦分布，这两个绕组分别为直轴绕组和交轴绕组，即α，β轴。为简化分析过程，可以在建立αβ静止坐标系时将α轴与abc静止坐标系的a相轴重合。
Clarke 变换公式如下。通过 Clarke 变换，将abc三相静止坐标系下的 fa,fb,fc 分别映射到α-β轴上，得到αβ两相静止坐标系下的虚拟物理量 fα, fβ。
[ f α , f β , f 0 ] T = T 3 s / 2 s [ f a , f b , f c ] T [f_{\alpha}, f_{\beta}, f_0]^T = T_{3s/2s} [f_a, f_b,f_c]^T [fα,fβ,f0]T=T3s/2s[fa,fb,fc]T
T 3 s / 2 s = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 2 2 2 2 2 2 ] T_{3s/2s} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} T3s/2s=32
1022−212322−21−2322
f f f 表示电压 u u u，电流 i i i，磁链 ψ \psi ψ等时变变量，例如：
[ i α i β i o ] = T 3 s / 2 s [ i a i b i c ] = 2 3 [ 1 − 1 / 2 − 1 / 2 0 3 / 2 − 3 / 2 2 / 2 2 / 2 2 / 2 ] [ i a i b i c ] \begin{bmatrix}i_{\alpha} \\i_{\beta}\\i_o\end{bmatrix} = T_{3s/2s} \begin{bmatrix}i_a \\i_b \\ i_c\end{bmatrix}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -1/2\\ 0 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_a \\i_b \\ i_c\end{bmatrix} iαiβio =T3s/2s iaibic =32 102/2−1/23/22/2−1/2−3/22/2 iaibic
式中， i 0 i_0 i0 为零序分量。
Clarke变换的逆变换，称为反Clarke变换（用T2s/3s表示）。
[ u a u b u c ] = T 2 s / 3 s [ u α u β u o ] = 2 3 [ 1 0 2 / 2 − 1 / 2 3 / 2 2 / 2 − 1 / 2 − 3 / 2 2 / 2 ] [ u α u β u o ] \begin{bmatrix}u_a \\u_b\\u_c\end{bmatrix} = T_{2s/3s} \begin{bmatrix}u_{\alpha}\\u_{\beta}\\u_o\end{bmatrix} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \sqrt{2}/2\\ -1/2 & \sqrt{3} /2 & \sqrt{2}/2\\ -1/2 & -\sqrt{3} /2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{\alpha} \\u_{\beta} \\u_o\end{bmatrix} uaubuc =T2s/3s uαuβuo =32 1−1/2−1/203/2−3/22/22/22/2 uαuβuo
1.2 Clarke 变换的仿真模型
根据 Clarke 变换的数学公式，使用Matlab/Simulink建立 Clarke 变换的仿真模型。
（1）新建模型：打开Matlab软件，在Simulink模型编辑界面中新建“空白模型”。
（2）添加模块：打开库浏览器，从Simulink、Simscape\Electrical\Specialized Power Systems等标准库中依次选取模块。按照设计计算结果设置模块参数。用户也可以直接在模型编辑界面中，双击鼠标左键调出“搜索模块”弹窗，输入模块名称，直接选择和添加模块。
（3）搭建模型：按照电路原理图连接各模块，搭建Buck变换电路的仿真模型。
（4）信号监测：使用信号标记模块goto、信号分解模块Demux、总线选择模块Bus Select，提取和选择需要观测的信号，作为示波器的输入信号。
（5）模型设置：选择“模型配置参数”，在求解器中选择仿真算法ode23tb(stiff/TR-BDF2)，仿真时间为0.02s。
按照以上步骤，建立 Clarke 变换和反变换的仿真模型（Clarke01.slx），如下图所示。
仿真结果如下图所示。
2. Park 变换的模型与仿真
2.1 Park 变换
通过 Park 变换将 αβ两相静止坐标系 转换到 dq 同步旋转坐标系，记为 T 2 s / 2 r T_{2s/2r} T2s/2r。
Park 变换公式如下。通过 Park 变换，将αβ两相静止坐标系fα, fβ 分别映射到d-q轴上，得到 dq 同步旋转坐标系下的虚拟物理量 fd, fq。
[ f d , f q ] T = T 2 s / 2 r [ f α , f β ] T [f_d, f_q]^T = T_{2s/2r} [f_{\alpha}, f_{\beta}]^T [fd,fq]T=T2s/2r[fα,fβ]T
T 2 s / 2 r = [ c o s ( θ ) s i n ( θ ) − s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] T_{2s/2r} = \begin{bmatrix} cos(\theta)&sin(\theta)\\ -sin(\theta)&cos(\theta)\\ \end{bmatrix} T2s/2r=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)]
f f f 表示电压 u u u，电流 i i i，磁链 ψ \psi ψ等时变变量，例如：
[ u d u q ] = T 2 s / 2 r [ u α u β ] = [ c o s ( θ ) s i n ( θ ) − s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] [ u α u β ] \begin{bmatrix}u_d\\u_q\end{bmatrix} = T_{2s/2r} \begin{bmatrix}u_{\alpha} \\u_{\beta}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta)&sin(\theta)\\ -sin(\theta)&cos(\theta)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{\alpha}\\u_{\beta}\end{bmatrix} [uduq]=T2s/2r[uαuβ]=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)][uαuβ]
式中， i 0 i_0 i0 为零序分量。
Park 变换的逆变换，称为反Park 变换（用T2r/2s表示）。
[ u α u β ] = T 2 r / 2 s [ u d u q ] = [ c o s ( θ ) − s i n ( θ ) s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] [ u d u q ] \begin{bmatrix}u_{\alpha}\\u_{\beta}\end{bmatrix} = T_{2r/2s} \begin{bmatrix}u_d\\u_q\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_d\\u_q\end{bmatrix} [uαuβ]=T2r/2s[uduq]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][uduq]
2.2 Park 变换的仿真模型
根据 Clarke 变换的数学公式，使用Matlab/Simulink建立 Clarke 变换的仿真模型。
仿真结果如下图所示。
由仿真结果可见，经过坐标变换，在dq 同步旋转坐标系中的 Vd, Vq 成为解耦的直流量，便于进行控制。
3. Simscape标准库变换模块
Simscape标准库提供了 abc to Alpha-Beta-Zero模块和 abc to dq0 模块。
3.1 abc to Alpha-Beta-Zero 模块
abc to Alpha-Beta-Zero 模块对三相abc信号进行 Clarke 变换。Alpha-Beta-Zero to abc 模块对 αβ0 分量执行 Clarke 逆变换。
假设ua、ub、uc量表示三个正弦平衡电压：
[ u a u b u c ] = U [ c o s ( ω t ) c o s ( ω t − 2 π / 3 ) c o s ( ω t + 2 π / 3 ) ] \begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\end{bmatrix} = U \begin{bmatrix}cos{(\omega t)}\\cos{(\omega t-2\pi/3)}\\cos{(\omega t+2\pi/3)}\end{bmatrix} uaubuc =U cos(ωt)cos(ωt−2π/3)cos(ωt+2π/3)
则 iα和iβ分量表示旋转空间矢量Is在α轴与相位a轴对齐的固定参考系中的坐标。振幅与三个电流产生的旋转磁动势成正比。
3.2 abc to dq0 模块
abc to dq0 模块 使用Park变换将三相（abc）信号变换为dq0旋转参考系。旋转框架的角位置由输入 wt 给出，单位为rad。
dq0 to abc 模块 使用逆Park变换将dq0旋转参考系变换为三相（abc）信号。旋转框架的角位置由输入 wt 给出，单位为rad。
当wt=0处的旋转帧对齐在相位A轴后90度时，Mag=1且phase=0度的正序信号产生以下dq值：d=1，q=0。
该模块支持用于 Park 变换：
- 当旋转框架在t=0时与相位A轴对齐时，即t=0时，d轴与A轴对齐。这种类型的Park变换也称为余弦型Park变换。
- 当旋转框架在相位A轴后对齐90度时，即t=0时，q轴与A轴对齐。这种类型的公园改造也被称为正弦型Park 变换。在具有三相同步和异步电机的Simscape™Electrical™专用电力系统模型中使用此转换。
通过在三相静止参考系中执行abc到αβ0-Clarke变换，从abc信号中推导出dq0分量。然后在旋转参考系中执行αβ0到dq0的变换，即通过对空间向量Us=uα+j·uβ执行−ωt旋转。
abc-to-dq0变换取决于t=0时的dq帧对齐。旋转坐标系的位置由ω.t给出，其中ω表示dq坐标系的旋转速度。
4. 基于 S函数的仿真模型
Matlab/Simulink在Simscape标准库中提供了多种坐标转换模块，使用abc_to_dq0模块可以完成从abc三相静止坐标系到dq旋转参考系的转换。
基于abc_to_dq0模块直接建立的仿真模型更加简洁。对于复杂算法也可以使用Simulink中的S函数建立仿真模型，如下图所示。
参考文献：袁雷等，现代永磁同步电机控制原理及MATLAB仿真，北京航空航天大学出版社，2016