唯一可译码&即时码&平均码长和编码效率的计算

唯一可译码

若码的任意一串有限长的码符号序列只能被唯一地译成所对应的信源符号序列，称为唯一可译码或单义可译码

即时码

无需参考后续码符号就可以即时作出译码判断的码，称为即时码

定理：即时码的充要条件是其中任何一个码字都不是其他码字的前缀。

T1

将下表所列的信源进行六种不同的二进制编码，试问：

消息	概率	$\mathrm{C}_{1}$	$\mathbb{C}_2$	$\mathrm{C}_{3}$	$C_4$	$C_5$	$C_6$
$a_1$	1/2	000	0	0	0	1	01
$a_2$	1/4	001	01	10	10	000	001
$a_3$	1/16	010	011	110	1101	001	100
$a_4$	1/16	011	0111	1110	1100	010	101
$a_5$	1/16	100	01111	11110	1001	110	110
$a_6$	1/16	101	011111	111110	1111	110	111

(1) 这些码中哪些是唯一可译码？

(2) 哪些码是非延长码(即时码)?
(3) 对所有唯一可译码求出其平均码长和编码效率。
解：
(1)$C_1、C_2、C_3、C_6$是唯一可译码。
(2)$C_1,C_3,C_6$是非延长码(即时码)。
(3)唯一可译码平均码长为：$$\overline{L}=\sum _{i=1}^{q}p(s_i)l_i$$

所 以 : $${\overline{L}}_{c_1}=3(码符号/信源符号)$$
$${\overline{L}}_{c_2}=2.125(码符号/信源符号)$$
$${\overline{L}}_{c_3}=2.125(码符号/信源符号)$$
$${\overline{L}}_{c_5}=2(码符号/信源符号)$$
$${\eta }_{c_1}=\frac{H(S)}{\overline{I}}=0.667$$
$${\eta }_{c_2}=0.94$$
$${\eta }_{c_3}=0.94$$
$${\eta }_{c_6}=0.8$$

T2

下面的码是否是即时码？是否是惟一可译码？
(1) C = { 0 , 10 , 1100 , 110 , 11110 , 111 } ; C= \{ 0, 10, 1100, 110, 11110, 111\} ; C={ 0,10,1100,110,11110,111};
(2) C = { 0 , 10 , 110 , 1110 , 10 , 1011 , 11101 } . C= \{ 0, 10, 110, 1110, 10, 1011, 11101\} . C={ 0,10,110,1110,10,1011,11101}.
解：
(1)是即时码，唯一可译码。
(2)不是即时码，也不是唯一可译码。

T3

判断是否存在满足下列要求的即时码，如果有，试构造出一个这样的码：
(1) r=2,长度：1,3,3,3,4,4;
(2) r=3,长度：1,1,2,2,3,3,3;
(3)r=5,长度：1,1,1,1,1,8,9;
(4)r=5,长度：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4.
解：
(1)满足。构造的码字：1,011,010,001,0000,0001。
(2)满足。构造的码字：0,1,20,21,220,221,222。
(3)不满足。
(4)满足。构造的码字：0,1,2,3,40,41,42,440,441,4440.