作者：桂。
时间：2018-06-27 06:22:47
链接：https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/9232042.html
接上文：概率论01
以下推理的基础是：切比雪夫不等式，且都要符合独立同分布。 而切比雪夫不等式的前提是：不同变量具有独立的分布即可。
第五章
1- 大数定律（Law of Large Numbers,LLN）
1）随机变量X1，X2，....相互独立
2）服从同一分布
3）数学期望E（Xk） = mu,k = 1,2,...
则有：
证明：
借助切比雪夫不等式：
P{|x-mu| >= epsilon} <= sigma^2/epsilon^2
假设方差存在，求解方差sigma^2：
【同一分布 + 独立性，才有该性质】
得出：
n->∞，夹逼准则：
大数定律：1）独立同分布；2）具有均值mu，在1）2）条件满足的情况下，随机变量样本数n很大时，他们的算术平均值非常接近期望【依概率收敛】。 大数定律理论上证明了该常识。
2- 伯努利大数定律（Bernoulli’s Law of Large Numbers）
对于n重伯努利试验，事件A的频率依概率收敛于其概率。 伯努利大数定律为
该问题针对的是n重伯努利试验
证明：
可知mu = np，又fA是事件A发生的次数
fA = X1 + X2 +...
则fA/n =
，期望为p，借助大数定律：
3- 中心极限定理(The Central Limit Theorem (CLT))
中心极限定理：客观实际通常是大量的相互独立的随机因素的综合影响，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。
3.1- 中心极限定理
1）独立同分布；2）均值、方差存在，则对于：
其分布函数为正态分布：
证明：
？
理论细节可参考附件1。
3.2- 李雅普诺夫（Lyapunov）定理
3.3- 棣莫弗-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）