【Python】给定一个数组A[0,…,n-1]，求A的连续子数组，使得该子数组的和最大

最大子数组

给定一个数组A[0,…,n-1]，求A的连续子数组，使得该子数组的和最大。
例如数组： 1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5
最大子数组：3, 10, -4, 7, 2

算法分析

定义：前缀和sum[i] = a[0] + a[1] + …+a[i]
则：a[i,j]=sum[j]-sum[i-1](定义sum[-1] = 0)
算法过程
1. 求i前缀sum[i]：
遍历i：0≤i≤n-1
sum[i]=sum[i-1]+a[i]
2. 计算以a[i]结尾的子数组的最大值对于某个i：遍历0≤j≤i，求sum[j]的最小值m
sum[i]-m即为以a[i]结尾的数组中最大的子数组的值
3. 统计sum[i]-m的最大值， 0≤i≤n-1
1、2、3步都是线性的，因此，时间复杂度O(n)。

进一步的分析

记S[i]为以A[i]结尾的数组中和最大的子数组
则：S[i+1] = max(S[i]+A[i+1], A[i+1])
S[0]=A[0]
遍历i： 0≤i≤n-1
动态规划：最优子问题
时间复杂度：O(n)

Python代码

# 输出最大子数组的和
def max_subarray(li):
    if li is None or len(li) == 0:
        return 0
    s = li[0]  # 当前子串的和
    result = s  # 当前找到的最优解
    for i in range(len(li)):
        if s > 0:
            s += li[i]
        else:
            s = li[i]
        result = max(s, result)
    return result


# 除了输出最大子数组的和，还需要输出最大子数组本身
def max_subarray2(li):
    if li is None or len(li) == 0:
        return 0
    s = li[0]  # 当前子串的和
    result = s  # 当前找到的最优解
    fromIndex = toIndex = 0  # from=to=0
    fromIndexNew = 0  # 新的子数组起点
    for i in range(len(li)):
        if s > 0:
            s += li[i]
        else:
            s = li[i]
            fromIndexNew = i
        if result < s:
            result = s
            fromIndex = fromIndexNew
            toIndex = i
    print(li[fromIndex:toIndex + 1])
    return result


if __name__ == '__main__':
    li = [1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]
    result = max_subarray2(li)
    print(result)

输出结果：
[3, 10, -4, 7, 2]
18