[NOI2002]荒岛野人

题目描述

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？
输入输出格式
输入格式：
第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。
输出格式：
仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。
输入输出样例
输入样例#1：
3
1 3 4
2 7 3
3 2 1
输出样例#1：
6
说明
对于50% 的数据：N 的范围是[1…1,000]。
对于另外50% 的数据：N 的范围是[1…100,000]。
对于100% 的数据：C 的范围是[1…1,000,000,000]，N 个整数中每个数的范围是：[0…1,000,000,000]。

分析

观察数据，发现可以枚举答案，枚举从最大洞穴到1e9，当发现满足条件时输出退出，然后发现可枚举每两个野人，通过同余方程计算两人相遇的最短时间，若此时有一个死了，则不相遇，否则相遇，这样就可以解决本题，时间：788ms。
上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int al[20][4],n,m=0;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int c=exgcd(b,a%b,x,y),k=x;
    x=y,y=k-a/b*y;
    return c;
}
int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int check(int a){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            int c=al[i][1]-al[j][1],p=al[j][2]-al[i][2],x=0,b=a,y=0,g=gcd(p,b);
            if(c%g==0){
                p/=g,c/=g,b/=g;
                exgcd(p,b,x,y);
                b=abs(b);
                x=((x*c)%b+b)%b;
                if(!x) x+=b;
                if(x<=min(al[i][3],al[j][3])){  
                    return 0;
                }
            }
        }   
    return 1;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&al[i][1],&al[i][2],&al[i][3]),m=max(m,al[i][1]);
    for(int i=m;;i++)
        if(check(i)){
            printf("%d\n",i);
            return 0;
        }
    return 0;
}