前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)
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介绍
前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值
,即数学表达式的求职
中缀表达式
简介
中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6
前缀表达式
简介
前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前
比如:- × + 3 4 5 6
前缀表达式的计算机求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如:- × + 3 4 5 6
- 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
- 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
- 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
将中缀表达式转换为前缀表达式
转换步骤如下:
- 初始化两个栈:运算符栈s1，储存中间结果的栈s2
- 从右至左扫描中缀表达式
- 遇到操作数时，将其压入s2
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级
- 如果s1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈
- 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入s1
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较
- 遇到括号时
- 如果是右括号“)”，则直接压入s1
- 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃
- 重复步骤2至5，直到表达式的最左边
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式
例如:1+((2+3)×4)-5具体过程，如下表
| 扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 空 | 数字，直接入栈 |
| - | 5 | - | s1为空，运算符直接入栈 |
| ) | 5 | -) | 右括号直接入栈 |
| 4 | 5 4 | -) | 数字直接入栈 |
| x | 5 4 | -)x | s1栈顶是右括号，直接入栈 |
| ) | 5 4 | -)x) | 右括号直接入栈 |
| 3 | 5 4 3 | -)x) | 数字 |
| + | 5 4 3 | -)x)+ | s1栈顶是右括号，直接入栈 |
| 2 | 5 4 3 2 | -)x)+ | 数字 |
| ( | 5 4 3 2 + | -)x | 左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
| ( | 5 4 3 2 + x | - | 同上 |
| + | 5 4 3 2 + x | -+ | 优先级与-相同，入栈 |
| 1 | 5 4 3 2 + x 1 | -+ | 数字 |
| 到达最左端 | 5 4 3 2 + x 1 + - | 空 | s1剩余运算符 |
结果是:- + 1 × + 2 3 4 5
后缀表达式
简介
后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后
比如:3 4 + 5 × 6 -
后缀表达式计算机求值
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
- 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
- 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
- 将5入栈；
- 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
- 将6入栈；
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式
与转换为前缀表达式相似，步骤如下：
- 初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
- 从左至右扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压s2；
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
- 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是左括号“(”，则直接压入s1；
- 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
- 重复步骤2至5，直到表达式的最右边；
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2；
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
| 扫描到的元素 | s2(栈底->栈顶) | s1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 空 | 数字，直接入栈 |
| + | 1 | + | s1为空，运算符直接入栈 |
| ( | 1 | + ( | 左括号，直接入栈 |
| ( | 1 | + ( ( | 同上 |
| 2 | 1 2 | + ( ( | 数字 |
| + | 1 2 | + ( ( + | s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 3 | 1 2 3 | + ( ( + | 数字 |
| ) | 1 2 3 + | + ( | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| × | 1 2 3 + | + ( × | s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 4 | 1 2 3 + 4 | + ( × | 数字 |
| ) | 1 2 3 + 4 × | + | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| - | 1 2 3 + 4 × + | - | -与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
| 5 | 1 2 3 + 4 × + 5 | - | 数字 |
| 到达最右端 | 1 2 3 + 4 × + 5 - | 空 | s1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”
代码实现
public class Operation {
private static int ADDITION=1;
private static int SUBTRACTION=1;
private static int MULTIPLICATION=2;
private static int DIVISION=2;
public static int getValue(String operation){
int result;
switch (operation){
case "+":
result=ADDITION;
break;
case "-":
result=SUBTRACTION;
break;
case "*":
result=MULTIPLICATION;
break;
case "/":
result=DIVISION;
break;
default:
// System.out.println("不存在该运算符");
result=0;
}
return result;
}
}
public class PolishNotation {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入运算表达式:");
String expressionStr=sc.nextLine();
// System.out.println(expressionStr);
List<String> zx= toInfixExpression(expressionStr);
List<String> rpn=parseSuffixExpression(zx);
String rpnStr="";
for(String str:rpn){
rpnStr+=str;
}
System.out.println(rpnStr);
System.out.println("计算结果:"+ calculate(rpn));
}
/**
* 把字符串转换成中序表达式
* @param s
* @return
*/
public static List<String> toInfixExpression(String s) {
List<String> ls = new ArrayList<String>();//存储中序表达式
int i = 0;
String str;
char c;
do {
if ((c = s.charAt(i)) < 48 || (c = s.charAt(i)) > 57) {
ls.add("" + c);
i++;
} else {
str = "";
while (i < s.length() && (c = s.charAt(i)) >= 48
&& (c = s.charAt(i)) <= 57) {
str += c;
i++;
}
ls.add(str);
}
} while (i < s.length());
return ls;
}
/**
* 转换成逆波兰表达式
* @param ls
* @return
*/
public static List<String> parseSuffixExpression(List<String> ls) {
Stack<String> s1=new Stack<String>();
Stack<String> s2=new Stack<String>();
List<String> lss = new ArrayList<String>();
for (String ss : ls) {
if (ss.matches("\\d+")) {
lss.add(ss);
} else if (ss.equals("(")) {
s1.push(ss);
} else if (ss.equals(")")) {
while (!s1.peek().equals("(")) {
lss.add(s1.pop());
}
s1.pop();
} else {
while (s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(ss)) {
lss.add(s1.pop());
}
s1.push(ss);
}
}
while (s1.size() != 0) {
lss.add(s1.pop());
}
return lss;
}
/**
* 通过逆波兰表达式计算结果
* @param ls
* @return
*/
public static int calculate(List<String> ls) {
Stack<String> s=new Stack<String>();
for (String str : ls) {
if (str.matches("\\d+")) {
s.push(str);
} else {
int b = Integer.parseInt(s.pop());
int a = Integer.parseInt(s.pop());
int result=0;
if (str.equals("+")) {
result = a + b;
} else if (str.equals("-")) {
result = a - b;
} else if (str.equals("*")) {
result = a * b;
} else if (str.equals("\\")) {
result = a / b;
}
s.push("" + result);
}
}
System.out.println(s.peek());
return Integer.parseInt(s.pop());
}
}