Day 2 下数论部分(undone)

素数判定

一般从2判到sqrt(n)就够用了
还有一个miller-rabin

题目 NOIP2012 质因数分解

素数筛法

O(n log n)

筛到素数后标记其倍数，因为会重复所以是O(n log n)

线性筛

for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])pr[++num]=i;
        for(int j=1;j<=num&&pr[j]*i<=n;++j)//后一个判定条件是为了防止超出去 
        {
            vis[pr[j]*i]=1;
            if(!(i%pr[j]))//这里的判定使得算法复杂度为O(n)而非O(n log n) 
             break;
        }
    }

这里就只解释一下最关键的语句是怎么起作用的吧。
他保证了一个合数只会被它最小的质因子筛到，比如(2^5)(3^3)(5^7)
它只会被2在乘以(2^4)(3^3)(5^7)时筛掉
很灵性的一个东西。。。真的挺难想出来的。。。
这个东西还是好好背代码吧

gcd-欧几里得

int gcd(int x,int y)
{
 return x%y?gcd(y,x%y):x;
}

只给出它是O(log n)的证明
我们可以证明：a%b＜a/2
分以下两种情况：
①b＜=a/2
那么显然a%b＜a/2
②b>a/2
那么a%b=a-b，显然小于a/2
所以他的复杂度是O(log n)

扩展欧几里得

这个算法是用来解ax+by=gcd(a,b)这样的方程（当且仅当右边为gcd(a,b)时，x，y有整数解）
由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b) [欧几里得算法的结论]
那我们可以弄下去
假设存在x $_2$ ，y $_2$
使得bx $_2$ +(a%b)y $_2$ =gcd(b,a%b)=gcd(a,b)
由于a%b=a-floor(a/b)
将其代入，拆式子，合并同类项，得
ay $_2$ +b(x $_2$ -floor(a/b)*y $_2$ )=gcd(a,b)
即x=y $_2$ ，y=x $_2$ -floor(a/b)*y $_2$ ,这为我们后面从底部反推回来做好了铺垫
递归到底，一定会有
gcd(a,b)x $_n$ +0*y $_n$ =gcd(a,b)
此时显然x $_n$ =1,y $_n$ =0是它的一组解
然后我们按照上面推的式子推回去，就得到了这个不定方程的一组解
这个代码return 的是gcd(a,b)。。。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
    {
        if(!b)
        {
            x=1;
            y=0;
            return a;
        }
        int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
        int temp=x;
        x=y;//划重点
        y=temp-a/b*y;//划重点
        return ans;
    }

例题：同余方程

LCM

lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)
建议先除以，防止溢出

快速幂

这也算数论内容？？？难道不是倍增？？？
建议：用while()而不要用递归，不然常数会比较大

逆元

逆元的定义：若x*y $\equiv$ 1（mod p），那么y为x的逆元
只有x与p互质时，x才存在逆元
逆元满足交换、结合、分配律
求逆元的方法：

①exgcd

ax $\equiv$ 1(mod p) $\Leftrightarrow$ ax-p*floor(a/p)=1 $\Leftrightarrow$ ax+py=1
用exgcd解这个不定方程即可

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②费马小定理

条件：p是质数且a,p互质
结论：若p是质数，且a,p互质，那么a $^{p-1}$ $\equiv$ 1(mod p)
显然，a*a $^{p-2}$ $\equiv$ 1(mod p)
用快速幂求解即可

引入.欧拉函数

定义ψ(n)为[1,n]中与n互质的数的个数(1也算)
如ψ(4)=2，ψ(6)=2
记k的质因数分解形式为k=p $_1$ $^{t1}$ *p $_2$ $^{t2}$ …p $_n$ $^{tn}$
那么ψ(k)=k*(1-1/p $_1$ )(1-1/p $_2$ )…(1-1/p $_n$ )
这个式子可以用容斥原理证明，其实是先找出k中含有质因数pi的个数之类的…
而且ψ(n)是个积性函数
神奇的是这个函数还可以用欧拉筛来求
讨论两种情况
①ψ(2 $^3$ 3 $^3$ 5 $^1$ )=ψ(2 $^2$ 3 $^3$ 5 $^1$ )*2 //因为后面的那些分数已经没差了，差的只是前面的k，所以才能这样求，把求的式子写开就能看出来
②ψ(2 $^1$ 3 $^3$ 5 $^1$ )=ψ(3 $^3$ 5 $^1$ )*ψ(2 $^1$ ) //因为这时差的不只有k，还有分数那里也差一个，这也说明了ψ(n)是一个不完全积性函数

③欧拉公式

介绍完了欧拉函数ψ(n)，我们就可以来用欧拉公式了
其实费马小定理也只是欧拉公式的一个特殊情况！
条件：a,p互质，即gcd(a,p)=1 （也就是逆元存在的条件）
公式如下：
a $^{ψ(p)}$ %p=1
可以看出来，费马小定理的条件下ψ(p)=p-1，所以可以那样来弄
由欧拉公式就得出了%p意义下a的逆元为a $^{ψ(p)-1}$