【问题描述】
给定一个多项式 k (ax + by) ,请求出多项式展开后 n m x y 项的系数。
【输入】
输入文件名为 factor.in。
共一行,包含 5 个整数,分别为 a,b,k,n,m,每两个整数之间用一个空格隔开。
【输出】
输出文件名为 factor.out。
输出共 1 行,包含一个整数,表示所求的系数,这个系数可能很大,输出对 10007 取模后的结果。
【输入输出样例】
factor.in | factor.out |
---|---|
1 1 3 1 2 | 3 |
【数据范围】
对于 30%的数据,有 0≤k≤10;
对于 50%的数据,有 a = 1,b = 1;
对于 100%的数据,有 0≤k≤1,000,0≤n, m≤k,且 n + m = k,0≤a,b≤1,000,000。
—————————————————分割の线——————————————————
【分析】
就是一个多项式展开,可以用杨辉三角或者二项式定义做,但是身为蒟蒻都不会。
于是乎就萌生了一种神奇的算法(貌似和二项式的结论是一致的),证明如下;
多项式可以看成是(ax)^n·(by)^m,
于是我们可以看成是从k个(ax+by)中选出n个ax和m个by相乘,
这时主要求出相乘的总个数,再乘上a^n·b^y,即为多项式的系数
从排列组合的角度出发相当于从k个数中选取n个数的所有的可能数。
用公式表达为:
套个for循环,如下:
int ans=1;
for(int i=k-n;i<=k;i++)
ans*=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans/=i;
然而会溢出,如果改成下方形式又会直接错误(都不知道自己除mod10007以后的数了)
int ans=l;
for(int i=k-n;i<=k;i++)
ans=(ans*i)%10007;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans/=i;
这时我们可以先将一连串分解质因数,再在枚举乘数时进行约分。
代码如下:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1010;
long long a,b,k,n,m,s;
//s->为系数
long long p[maxn],flag[maxn],fa[maxn],cnt=0;
//p->素数,fa->最小质因数(指向地址),num->剩余质因数数量
long long num[maxn],ans=1;
void prepare()
{
memset(flag,0,sizeof(flag));
memset(fa,0,sizeof(fa));
for(int i=2;i<=1000;i++)
{
if(!flag[i])
{
p[++cnt]=i;
fa[i]=cnt;
}
for(int j=1;j<=cnt;j++)
{
if(i*p[j]>1000) break;
flag[i*p[j]]=1;
fa[i*p[j]]=j;
if(i%p[j]==0) break;
}
}
return ;
}
long long calc(long long x)
{//递归约分
if(x<=1) return 1;
if(num[fa[x]]>0)
{
num[fa[x]]--;
return calc(x/p[fa[x]]);
}
else return p[fa[x]]*calc(x/p[fa[x]]);
}
int main()
{
freopen("factor.in","r",stdin);
freopen("factor.out","w",stdout);
cin>>a>>b>>k>>n>>m;
a%=10007;
b%=10007;
s=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
s=(s*a)%10007;
for(int i=1;i<=m;i++)
s=(s*b)%10007;
n=min(n,m);
prepare();
memset(num,0,sizeof(num));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x=i;
while(x>1)
{
num[fa[x]]++;
x/=p[fa[x]];
}
}
for(int i=k-n+1;i<=k;i++)
{
ans=(ans*calc(i))%10007;
}
ans=(ans*s)%10007;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}