「NOIP2011」 计算系数 - 数论

题目描述

给定一个多项式$(ax+by)^k$,请求出多项式展开后$x^ny^m$项的系数.

输入格式

共一行,包含5个整数,分别为$a,b,k,n,m,$每两个整数之间用一个空格隔开.

输出格式

出共1行,包含一个整数,表示所求的系数,这个系数可能很大,输出对10007取模后的结果.

样例输入

1 1 3 1 2

样例输出

3

数据规模与约定

对于30%的数据,有$0\leq k\leq 10$;
对于50%的数据,有$a=1,b=1$ ;
对于100%的数据,有$0\leq k\leq 1000,0\leq n,m\leq k,$且$n+m=k,0\le a,b\le 1000000$.

分析

看到形如$(x+y)^n$的形式的题,马上想到杨辉三角.由杨辉三角,可以很轻易地得到$x^ny^m$前面的常数,同时,我们也可以知道,$a,b$的指数是和$x,y$是一样的,又因为$k$很大,不难想到快速幂的算法.至于快速幂,网上的文章很多,这里就不过多赘述.

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long s[1010][1010];
int a,b,k,n,m;
long long ans;
long long fast_pow(int x,int y,int mod) {//快速幂
    long long base=x,t=1;//注意!!10006*10006可能会爆int
    for (;y;base=base*base%mod,y>>=1)
        if (y&1) t=t*base%mod;
    return t;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    s[1][1]=1;//计算杨辉三角
    for (int i = 2;i <= k+1;i++) {
        for (int j = 1;j <= i;j++) {
            s[i][j]=(s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%10007;
        }
    }
    ans=(s[k+1][k-n+1]*fast_pow(a,n,10007)*fast_pow(b,m,10007))%10007;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}