最小生成树，普里姆（Prim）算法与克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，C++实现

• 概论：

图的定义，是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为G(V,E)，G表示一个图，V是图中顶点集合，E是图中边集合。

在程序中可通过邻接矩阵和邻接表表示，前者是一个二维数组，后者是有链表域的链表来表示，都是表示节点之间的联系。

图中两顶点之间存在路径则表示是连通的，若顶点可以回到出发的顶点则表示存在环或者回路，不存在环则是简单路径，若任意两顶点是连通的，则表示该图是连通图。无向图中连通且n个顶点n-1条边叫做生成树。

最小生成树：在图中，n个顶点用n-1条边把一个连通图连接起来，权值和最小，为最小生成树。

• 算法：

1. 克鲁斯卡尔（kruskal）算法

基本思想：将所有顶点之间路径权值，从小到大有序排列，并在程序中优先遍历路径小的顶点，记录不存在环的路径，直至全部循环完毕。

template <typename T>
struct EdgeTree
{
	T begin;
	T end;
	T weight;
};
EdgeTree<int> edge[15];
vector<EdgeTree<int>> minTree(EdgeTree<int> * mTree, int nodeNum, int edgeNum)
{
	vector<EdgeTree<int>> resEdge;//存放最小生成树边
	vector<int> parent(nodeNum, 0);//存放点之间连接parent[1] = 2表示顶点1、2之间有连接
	int begin = 0, end = 0;
	for (int i = 0; i < edgeNum; i++)
	{
		begin = mTree[i].begin;
		end = mTree[i].end;
		while (parent[begin] > 0)
			begin = parent[begin];
		while (parent[end] > 0)
			end = parent[end];
		if (begin != end)
		{
			parent[begin] = end;
			resEdge.push_back(mTree[i]);
		}
	}
	return resEdge;
}

2 普里姆（Prim）算法

基本思想：将顶点之间连接权值存在一个二维数组中，没有连接两个顶点之间为极大值INT_MAX，循环访问所有顶点，如已经得到该顶点与其它顶点连接的最小权值，则将其标记为0，不做重复访问

template <typename T>
struct EdgeTree
{
	T begin;
	T end;
	T weight;
};
vector<EdgeTree<int>> minPrimTree(const vector<vector<int>> &mTree)
{
	int len = mTree.size();//顶点个数
	vector<EdgeTree<int>> resEdge;
	EdgeTree<int> temEdge;
	vector<int> minWeight(len, 0);//边权值最小
	vector<int> adjevx(len, 0);
	for (int i = 1; i < len; i++)
		minWeight[i] = mTree[0][i];//初始化为顶点0与其它顶点连接情况
	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		int j = 1, k = 0;//k记录当前顶点i与其它顶点连接最小权值顶点
		int minNum = INT_MAX;
		while (j < len)
		{
			if (!minWeight[i] && minNum > minWeight[i])
			{
				k = j;
				minNum = minWeight[i];
			}
			j++;
		}
		temEdge.begin = adjevx[k];
		temEdge.end = k;
		temEdge.weight = minWeight[k];
		resEdge.push_back(temEdge);
		minWeight[k] = 0;
		
		for (j = 1; j < len; j++)
		{
			if (!minWeight[j] && mTree[k][j] < minWeight[j])
			{
				minWeight[j] = minWeight[k][j];//边权更小的值
			}
		}
	}
	return resEdge;
}