UVa1354 ——天平难题

考察回溯法的题目。

难点在于如何枚举天平结构的各种情况。

思路1：自底向上，用类似二叉树的结构储存（类似霍夫曼树，挂坠全部在叶节点），每次选择两个节点组成一个子树同时算出子树的左右臂长度，递归建树。但是这样会有较多重复的情况。

思路2：自顶向下，把集合分为左右子集（分别为左右子树所含的挂坠集合），在递归调用左右子集。枚举子集的思路用的是二进制枚举集合的思路，每个二进制数分别对应挂坠集合能组成的所有天平的左右臂长度，用vector<Node> node[MAXN]储存，[]内是二进制数。还用到了二进制&，^运算来处理集合间的关系。

思路2的代码。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cassert>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<functional>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N = 6;
const int MAXN = (1 << N);
int t, n, i, j, vis[MAXN];
double w[N], sumw[MAXN], r;
struct Node {
    double l, r;
    Node() {}
    Node(double ll, double rr) { l = ll; r = rr; }
};
vector<Node> node[MAXN];
 
int bitcount(int x) {  //计算二进制中1的个数
    if (x == 0) return 0;
    return bitcount(x / 2) + (x & 1);
}
 
void dfs(int s) {
    if (vis[s]) return;//添加了记忆数组，如果状态s已经被搜索过，直接返回
    vis[s] = 1;
    if (bitcount(s) == 1) {  //当只有一个1时，说明是叶子，天平的两臂都是0
        node[s].push_back(Node(0, 0));
        return;
    }
    for (int l = (s - 1)&s; l > 0; l = (l - 1)&s) { //枚举左右子集情况,（此处利用二进制枚举左右子集的方法值得学习）
        int r = s^l;
        dfs(l); dfs(r);
        for (int i = 0; i < node[l].size(); i++) {
            for (int j = 0; j < node[r].size(); j++) {
                double ll = min(-sumw[r] / (sumw[l] + sumw[r]) + node[l][i].l, sumw[l] / (sumw[l] + sumw[r]) + node[r][j].l);//比较 左臂+左子天平的左臂 与 右子天平的左臂-右臂  谁更小
                double rr = max(sumw[l] / (sumw[l] + sumw[r]) + node[r][j].r, -sumw[r] / (sumw[l] + sumw[r]) + node[l][i].r);//比较 右臂+右子天平的右臂 与 左子天平的右臂-左臂  谁更大
                node[s].push_back(Node(ll, rr));//将得到的该根节点的左右臂长度放入数组
            }
        }
    }
}
 
void solve() {
    double ans = -1;
    int s = (1 << n) - 1;
    dfs(s);
    for (int i = 0; i < node[s].size(); i++) {
        if (node[s][i].r - node[s][i].l < r) {//s结点是根结点，存有所有二叉树的左右臂的长度，选出差值<r的最大值即可
            if (node[s][i].r - node[s][i].l > ans)
                ans = node[s][i].r - node[s][i].l;
        }
    }
    if (ans == -1) printf("-1\n");
    else printf("%.10lf\n", ans);
}
 
int main() {
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        memset(node, 0, sizeof(node));
        scanf("%lf%d", &r, &n);
        for (i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lf", &w[i]);
        for (i = 0; i < (1 << n); i++) {
            sumw[i] = 0;
            for (j = 0; j < n; j++) {
                if (i&(1 << j))
                    sumw[i] += w[j];
            }
        }
        solve();
    }
    return 0;
}