组合数学与卡特兰数

例如：

• Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。

Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

今天看到有一个问题:

题目描述

盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。

按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。

例如当n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式，使售票员不至于找不出钱。

这个题就相当于A是左括号,B是右括号，A先出现的个数要大于等于B才符合要求；

#include<iostream>
using namespace std;
int n;
long long int cat[50];
int main()
{
    cin>>n;
    cat[0]=cat[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    cat[i]=cat[i-1]*(4*i-2)/(i+1);//卡特兰数递推公式
    cout<<cat[n];
    return 0;
}