线性递推DP之 — 爬梯子

The first blood

HDU 2041 超级楼梯
Problem Description
有一楼梯共M级，刚开始时你在第一级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第M级，共有多少种走法？
Input
输入数据首先包含一个整数N，表示测试实例的个数，然后是N行数据，每行包含一个整数M（1<=M<=40）,表示楼梯的级数。
Output
对于每个测试实例，请输出不同走法的数量
Sample Input
2
2
3
Sample Output
1
2
思路：
有 i 个台阶的话 ，我可以先走1不剩下的情况就跟i-1的情况一样了，同理我还可以走2步剩下的情况就跟i-2步得一样了 因此 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
思路结束
AC code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll dp[50];

void init(){
    dp[1] = 1; dp[2] = 1;
    for (int i = 3;i<50;i++) {
        dp[i] = dp[i-1] +dp[i-2];
    }
}

int main(){
    init();
    int t; cin>>t;
    while(t--){
        int n; scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

The second blood

洛谷1192
题目描述
有 NN 级的台阶，你一开始在底部，每次可以向上迈最多 KK 级台阶（最少 11 级），问到达第 NN 级台阶有多少种不同方式。

输入输出格式
输入格式：
两个正整数N，K。

输出格式：
一个正整数，为不同方式数，由于答案可能很大，你需要输出 ans \bmod 100003ansmod100003 后的结果。

输入输出样例
输入样例#1：
5 2
输出样例#1：
8
说明
对于 20\%20% 的数据,有 N ≤ 10, K ≤ 3N≤10,K≤3 ;

对于 40\%40% 的数据，有 N ≤ 1000N≤1000 ;

对于 100\%100% 的数据，有 N ≤ 100000,K ≤ 100N≤100000,K≤100 。

stage\step	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	2	2	2	2	2	2
3	1	3	4	4	4	4	4	4
4	1	5	7	8	8	8	8	8
5	1	8	13	15	16	16	16	16
6	1	13	24	29	31	32	32	32
7	1	21	44	56	61	63	64	64
8	1	34	81	108	120	125	127	128

或许细心的小伙伴已经发现一些规律了，
如果步数为 1 那么情况数恒唯一。
如果步数大于台阶数情况为 ksm(2,n-1)
$对于步数等于 2 的 dp[i][2] = dp[i-1][2] + dp[i-2][2]$
$对于步数等于 3 的 dp[i][3] = dp[i-1][3] + dp[i-2][3] + dp[i-3][3]$
$对于步数等于 4的 dp[i][4] = dp[i-1][4] + dp[i-2][4] + dp[i-3][4] + dp[i-4][4]$
$对于步数等于 5 的 dp[i][5] = dp[i-1][5] + dp[i-2][5] + dp[i-3][3] + dp[i-4][5] + dp[i-5][5]$

$$......$$
$对于步数等于 n 的 dp[i][n] = dp[i-1][n] + dp[i-2][n]...... + dp[i-n][n]$
其实也有道理你想想如果步数为 2 有 i 个台阶的话 ，我可以先走1不剩下的情况就跟i-1的情况一样了，同理我还可以走2步剩下的情况就跟i-2步得一样了 那么dp[i][2] = dp[i-1][2] + dp[i-2][2]
每次三步，四步，五步……n步也是一样
AC code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod = 100003;

ll dp[100001][101];

ll ksm(ll a,ll b){
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res*a%mod;
        b>>=1;
        a = a*a%mod;
    }
    return res;
}

void init(){
    for (int i = 1;i<=100000;i++) {
        dp[i][1] = 1;
    }
    for (int i = 2;i<=100;i++) {
        ll s = 0;
        for (int j = 1;j<=100000;j++) {
            if(i>j) { dp[j][i] = dp[j][i-1]; s = (s + dp[j][i]) % mod; }
            else if(i == j) { dp[j][i] = ksm(2,j-1); s = (s + dp[j][i]) % mod; }
            else {
                dp[j][i] = s;
                s = ((s + dp[j][i] - dp[j-i][i]) % mod + mod ) % mod;
            }
        }
    }
}

int main(){
    init();
    ll n,k;
    while(~scanf("%lld %lld",&n,&k))
    {
        printf("%lld\n",dp[n][k]);
    } 
    return 0;
}