根据线性递推的DP公式如何写出变换矩阵

原理

一组DP状态，其实等价于一个向量。而DP状态的转移方程，可以是对一个向量做变形的矩阵。那么本质上从1个向量到另一个状态的向量，是可以通过一个矩阵来做到。矩阵具有结合律，我们可以先对右半部分矩阵用快速幂得到一个终极的变形矩阵，再乘以向量，就可以把$O(N)$的计算 优化到 $O(log(N))$

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示例

以大家最熟悉的斐波那契数列为例：

递推公式为 $dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$，那么每一个新的数的计算依赖于前2个数，所以可以构建这么一个向量为 $(dp[n-1],dp[n-2])$，那么它和递推的下一组$(dp[n],dp[n-1])$有什么关系呢？

• $dp[n]=dp[n-1]\ast 1+dp[n-2]\ast 1$
• $dp[n-1]=dp[n-1]\ast 1=dp[n-1]\ast 1+dp[n-2]\ast 0$

转换为矩阵形式，显而易见：
依次递推，要从 $dp[2],dp[1]$求到 $dp[n],dp[n-1]$ 中间需要有n-2个同样的变形矩阵的乘法

（此处若n比较大，则需要结合矩阵快速幂优化）

 传送门：矩阵快速幂优化

注：
本文部分引自西部小笼包https://www.jianshu.com/p/9817cf3c2fd9