矩阵加速线性递推公式

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关键词：矩阵加速线性递推公式

用1*2的矩形填充2*n的矩形，共有多少种填充方式

dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]—————Fibonacci数列

初始值：dp[1]=1,dp[2]=2,定义dp[0]=1,dp[-1]=0;
n很大，需要用矩阵加速运算！
观察下列式子：

其中（Fn-2） =  0, (Fn-1) = 1; (Fn-2, Fn-1)* [[0, 1],[ 1, 1]] = (Fn-1, Fn)
所以只需要计算矩阵的n次幂即可！
矩阵求幂可以用快速幂加速！

快速幂计算：https://blog.csdn.net/qq_36387683/article/details/81941556

拓展：
1.第二列的两个1改成a和b可以快速求fn=a∗fn−2+b∗fn−1    fn=a∗fn−2+b∗fn−1的通项公式
2.同理，可构造k维矩阵快速求出fn=∑n−1i=n−kai∗fi  fn=∑i=n−kn−1ai∗fi的通项公式，矩阵的前k-1列每列仅保留一个1，最后一列为系数列填充aiai
复杂度：O(k^3*log(n))

class Solution:
    """
    @param n: An integer
    @return: An integer
    """

    #时间复杂度O(logN)， 利用矩阵求解
    def climbStairs(self, n):
        # write your code here
        if n < 3:
            return n
        f1 = 1
        f2 = 2
        base = [[0, 1], [1, 1]]
        '''
        (f1, f2) * [ 0  1]^n-2   = (Fn-1, Fn)
                  [ 1  1]
        '''
        res = self.matrixPower(base, n-2)
        # Fn = f1 * res[0][1] + f2* res[1][1]
        return f1 * res[0][1] + f2 * res[1][1]

    # 快速幂算法:二进制法
    def matrixPower(self, m, p):
        # 对于矩阵的乘法来说，ans应该初始化为单位矩阵，对于单位矩阵E，任何矩阵A * E  = A
        res = [[0] * len(i) for i in m]
        for i in range(len(res)):
            res[i][i] = 1

        tmp = m
        while p != 0:
            if p & 1 != 0:
                res = self.multiMatrix(res, tmp)

            tmp = self.multiMatrix(tmp, tmp)
            p = p >> 1
        return res

    '''
    #利用二分求阶乘加速计算，只能计算小数量的幂，当幂大时，会超出递归深度
    def matrixPower(self, m, p):
        if p == 1:
            return m
        elif p == 2:
            return self.multiMatrix(m, m)
        else:
            if p % 2 == 0:
                tmp = self.matrixPower(m, p/2)
                tmp = self.multiMatrix(tmp, tmp)
                return tmp
            else:
                tmp = self.matrixPower(m, p/2)
                tmp = self.multiMatrix(tmp, tmp)
                #因为是奇数，不能二分，所以多乘一次
                tmp = self.multiMatrix(tmp, m)
                return tmp
    '''

    # 计算矩阵乘法的函数，m1,m2是两个矩阵
    def multiMatrix(self, m1, m2):
        # 定义一个临时矩阵，来存放m1*m2的结果
        res = [[0] * len(m2[0]) for _ in m1]
        for i in range(len(m1)):
            for j in range(len(m2[0])):
                for k in range(len(m2)):
                    res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j]

        return res