牛课暑假多校第四场 A-Ternary String（欧拉降幂）

传送门

思路：从前往后遍历字符串，如果遇到0，那么时间就是T+1（假设T是之前所用的时间）

如果遇到‘1’，时间是2*T+2， 因为在之前的T时间，这个‘1’会产生T个零，消去这个‘1’的时候还会产生1个‘0’，这样算的话就是产生了T+1个’0‘，再加上之前的时间T, 消去这个’1‘的时间 1， 总共为  2*T+2的时间；

如果遇到’2‘，时间是3*（pow（2， T+1）-1）。因为遇到这个’2‘的时候会产生T个’1‘， 消去’2‘的时候还会产生一个‘1’，每个‘1’后面分别有0、1、2、……T个‘0’，这样可以推算一下，我推了一个递推式子。,a[n]是消去第n个’1‘及其它产生的’0‘，需要的时间，a[1]是2，这样数列求和为,n是T+1，所以用的时间就是3*（pow（2， T+1）-1）-（T+1）+（T+1）=3*（pow（2， T+1）-1）；

另外由于T是不断取模的，所以，直接用T+1当次幂的话不正确，所以就用到欧拉降幂，如下：

若gcd(a,m)=1，那么使用欧拉定理即可：a^b≡a^(b%φ(m))(mod m)

若gcd(a,m)>1，且b>φ(m)，则有“求幂大法”——a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)

（当b<=φ(m)时直接用快速幂即可）

但有个问题，不知道为什么只用a^b≡a^(b%φ(m))(mod m)这个公式答案是对的。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
const int N =1e5+5;
ll s, mo;
ll phi[N];
char str[N];
int cnt=1, num;

ll Phi(ll x){
    ll m=sqrt(x+0.5),ans=x;
    for(ll i=2;i<=m;i++){
        if(x%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}

void init(){

    phi[0]=mod;
    while(phi[cnt-1]!=1){
        phi[cnt]=Phi(phi[cnt-1]);
        cnt++;
    }
    //for(int i=0;i<cnt;i++){
    //  printf("i:%d %lld\n",i,phi[i]);
   //}
}

ll _pow(ll bas, ll x){
    ll ans=1;

    while(x){

        if(x&1)
            ans=ans*bas%mo;

        bas=bas*bas%mo;
        x>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        s=0;
        scanf("%s", str);
        int len=strlen(str);

        for(int i=0; i<len; i++)
            if(str[i]=='2') num++;

        mo=num>=28? 1ll:phi[num];

        for(int i=0; i<len; i++){
            if(str[i]=='0'){
                s++;
                s%=mo;
            }
            else if(str[i]=='1'){
                s=s+s+2;
                s%=mo;
            }
            else{
                
                num--;
                mo=num>=28? 1ll:phi[num];
                s++;
                s%=mo;
                ll tmp=3ll*(_pow(2ll, s)-1ll)-s;
                s=(s+tmp+mo)%mo;
            }
        }
        printf("%lld\n", (s%mo+mo)%mo);
    }

    return 0;
}