【BZOJ3771】Triple

刚学的FFT。。证明好玄乎啊

根据mjs大佬的原话，FFT这种东西不需要理解，背了模板就好

先贴题

链接：BZOJ3771 Triple

题意：从n个数中选出1,2或3个数求和，询问组成每个和的方案数。

思路：生成函数+FFT+容斥原理

假设可选的数表为 ${\{1,3,4,4,4,8,8,10\}}$ ，那么构造多项式 $A=x+x^3+3x^4+2x^8+x^{10}$ 。怎么解释呢？将 $A$ 表示为若干个单项式 $a_ix^{k_i}$ 之和，其中 $k_i$为原本数表中的数， $a_i$ 为 $k_i$ 在表中出现的次数。

那答案不就是 $A^3$ 各项的系数与次数吗？

并不是。。将 $A^3$ 展开，会发现某项会自乘，从而对答案产生贡献。

这时候我们就要请出 客厅原理 容斥原理了

再构造多项式 $B=x^2+x^6+3x^8+2x^{16}+x^{20}$ 同 $A$ 的原理，但 $k_i$ 为原本数表中数的两倍， $C$ 中为三倍。
这样 $B$ 与 $C$ 即可表示将某个数限制选两次（三次）的方案数了

于是由容斥原理我们得到

$$S=\frac{A^3-3AB+2C}{6}+\frac{A^2-B}{2}+A$$

$S$ 为最终的答案

于是我们就可以用FFT在 $O(n\log{n})$ 的时间内求出多项式 $S$ 啦

上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

struct CComplexNumber{
    double r,i;
    CComplexNumber():r(0.),i(0.){}
    CComplexNumber(const double& _r,const double& _i):r(_r),i(_i){}
    friend CComplexNumber operator+(const CComplexNumber& c1,const CComplexNumber& c2){
        return CComplexNumber(c1.r+c2.r,c1.i+c2.i);
    }
    friend CComplexNumber operator-(const CComplexNumber& c1,const CComplexNumber& c2){
        return CComplexNumber(c1.r-c2.r,c1.i-c2.i);
    }
    friend CComplexNumber operator*(const CComplexNumber& c1,const CComplexNumber& c2){
        return CComplexNumber(c1.r*c2.r-c1.i*c2.i,c1.r*c2.i+c1.i*c2.r);
    }
    friend CComplexNumber operator*(const double& x,const CComplexNumber& c){
        return CComplexNumber(x*c.r,x*c.i);
    }
    friend CComplexNumber operator/(const CComplexNumber& c,const double& x){
        return CComplexNumber(c.r/x,c.i/x);
    }
    CComplexNumber operator*=(const CComplexNumber& c){
        CComplexNumber c0(r*c.r-i*c.i,r*c.i+i*c.r);
        r=c0.r;
        i=c0.i;
        return *this;
    }
    CComplexNumber operator/=(const double& x){
        r/=x;
        i/=x;
        return *this;
    }
};

const double Pi=acos(-1);
CComplexNumber x[360001],y[360001],z[360001];
int len=1,N,n,rev[360001],a,bit;

void fft(CComplexNumber *f,int check){
    for(int i=0;i<len;++i)if(i<rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1){
        CComplexNumber wn(cos(Pi/i),check*sin(Pi/i));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)){
            CComplexNumber w(1.,0.);
            for(int k=0;k<i;++k){
                CComplexNumber x=f[j+k],y=w*f[i+j+k];
                f[j+k]=x+y;
                f[i+j+k]=x-y;
                w*=wn;
            }
        }
    }
    if(check==-1)for(int i=0;i<len;++i)f[i]/=(double)len;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a);
        ++x[a].r;
        ++y[2*a].r;
        ++z[3*a].r;
        N=max(N,a);
    }
    while(len<=6*N+1){
        len*=2;
        ++bit;
    }
    for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((1&i)<<bit-1));
    fft(x,1);
    fft(y,1);
    fft(z,1);
    for(int i=0;i<len;++i)
        x[i]=(x[i]*x[i]*x[i]-3*x[i]*y[i]+2*z[i])/6.+(x[i]*x[i]-y[i])/2.+x[i];
    fft(x,-1);
    for(int i=0;i<len;++i)if(round(x[i].r))printf("%d %d\n",i,(int)round(x[i].r));
}