图 相关问题和算法

一. 一些定义和术语

• 顶点（vertex）：图中的数据元素。
• 弧（arc）：<v,w>表示从顶点v到顶点w的一条弧，v为弧尾（tail）或初始点，w为弧头（head）或终端结点。此时图为有向图。
• 边（edge）：(v,w)表示顶点v和w之间的一条边，边是没有方向的。此时的图为无向图。
• 无向图e的取值范围是：0到 1/2*n(n-1)；有向图是：0到n(n-1)。（其中e是边或弧的数目，n是顶点数，下同）
• 完全图：无向图中，有1/2*n(n-1)条边的图；有向图中，有n(n-1)条边的图。
• 稀疏图（sparse graph）：有很少条边或弧的图（e<nlogn）。
• 稠密图（dense graph）：反之就是稠密图。
• 权（weight）：边或弧具有与它相关的数，这个数叫做权。
• 网（network）：带权的图通常叫做网。

• 邻接点：对于无向图，两个点之间存在一条边。这条边称依附于该点，或者说两个顶点相关联。
• 度（degree）：对于无向图，和v相关联的顶点数。
• 出度（OutDegree） 和 入度（InDegree）：对于有向图而言，因为有进入顶点或离开顶点的弧，所以度分为出度和入度。

• 路径：从一个顶点到另外一个顶点的序列（中间可以有很多顶点）。如果图是有向的，那么路径也是有向的。
• 回路（cycle）：或称环。即第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
• 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
• 连通：一个顶点到另外一个顶点有路径，那么称这两个顶点连通。
• 连通图：对于无向图，如果任意两个顶点都是连通的，那么就是连通图。
• 连通分量：无向图、非连通图中的极大连通子图。
• 强连通图：在有向图中，对于任意两个顶点，可以互相来回的图。
• 强连通分量：有向图中，极大强连通子图。

二. 图的存储

1. 邻接矩阵

• 图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
• 假设图G有n个顶点，则邻接矩阵式一个 n∗n 方阵，定义为：arc[i][j]=1,若(vi,vj)∈E 或 <vi,vj>∈E；反之arc[i][j]=0 。因此无向图的边数组是一个对称矩阵。
• 如果是一个网，有权值。可以直接把1和0变成权值，然后定义一个无穷大值，如果没有边或弧则为无穷大。
• 因为无向图的邻接矩阵是对称的，因此可以压缩掉一半，用一个一维数组来存储。

2. 邻接表

• 对于边数相对顶点较少的图，邻接矩阵这种结构存在对存储空间的极大浪费。考虑另一种存储结构，可考虑对边或弧使用链式存储的方式来避免空间浪费问题。
• 基本思想：对图的每个顶点建立一个单链表，存储该顶点所有邻接顶点及其相关信息。每一个单链表设一个表头结点。第i个单链表表示依附于顶点Vi的边(对有向图是以顶点Vi为头或尾的弧)。
• 由邻接表获得一些信息：
  ①某顶点的度为该顶点边表中结点的个数
  ②判断两顶点是否有边，只需测试顶点的边表中是否有该顶点的下标即可
  ③求顶点的邻接点，只需对该顶点的边表进行遍历
• 若是有向图，以顶点为弧尾来存储边表，这样就能得到该顶点的出度。有时也为了能方便确定顶点入度，以顶点为弧头的弧，建立一个有向图的逆邻接表，及对每个顶点都建立一个链接为顶点为弧头的表。

3. 十字链表

• 在有向图中，邻接表是有缺陷的，关心了出度问题，要想知道入度，就必须遍历整个图，反之逆邻接表解决了入度却不能解决出度，那能否将邻接表与逆邻接表结合起来呢，答案是肯定的，于是就有了一种新的有向图的存储方法：十字链表法。
• 红线箭头表示该图的逆邻接表的表示，蓝色箭头表示该图的邻接表。

三. 遍历算法

1. 深度优先搜索DFS（Depth First Search）

• DFS，类似于树中的前序遍历。
• 大致过程：
  ①从任一个顶点出发，访问它任意一个未被访问的邻接点，一直到它所有的邻接点都被访问。
  ②此时开始原路退回上一个顶点，检查是否有邻接点没被访问，如果有继续。
  ③如果没有再退回，直到退回起点为止。
• 当以邻接表做存储结构时，DFS的时间复杂度为O(n+e)。用邻接矩阵的时间复杂度为O(n^2)。

2. 广度优先搜索BFS（Breadth First Search）

• BFS，类似于树中的按层次遍历。
• 大致过程：可以借助队列
  ①从任一个顶点出发，把该顶点放入队列。然后出队时访问它所有邻接点，依次放入队列。
  ②上一次的顶点依次出队，每个结点把它所有没被访问的邻接点入队。
  ③重复上面的步骤，队列里出来的顶点直到没有任何邻接点为止。
• 当以邻接表做存储结构时，BFS的时间复杂度为O(n+e)。用邻接矩阵的时间复杂度为O(n^2)。

四. 最小生成树问题

• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。 
• 最小生成树可能不是唯一的，但最小生成树的权值之和一定是唯一的。
• 一般用的都是贪心算法，但存在的一些限制：①只能用图里面的边 ②只能正好用掉n-1条边（不多不少）③选的这条边不能让图构成回路（就不是树了）。在这种限制下，有下面两种算法 Prim 和 Kruskal 。

1. Prim算法

• 整体思路：每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中（一种贪心算法）。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
  
  长大的意思：就是慢慢收顶点，每次包含都是找权最小和满足限制的（如果同时有多条满足条件的，任选一条）。
  
  在选权值最小的边时候，记得限制：①只能用图里面的边 ②只能正好用掉n-1条边 ③选的这条边不能让图构成回路。
• 生长过程图示（红色的表示生成树）：

2. Kruskal算法

• 整体思想：将森林合并为树。此算法可以称为“加边法”。一开始把每个顶点看成一颗单独的树，通过加入最小的，并且满足限制的边，把多颗树合并起来。最终形成一颗生成树。
  1.  把图中的所有边按代价从小到大排序。
  2.  把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林。
  3.  按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。 
  4.  重复3，直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。
• 生成过程图示：

五. 其他问题

1.稀疏图和稠密图的存储问题

• 稠密图用：邻接矩阵存储
• 稀疏图用：邻接表存储
• 原因：
  邻接表只存储非零节点，而邻接矩阵则要把所有的节点信息(非零节点与零节点)都存储下来。
  稀疏图的非零节点不多，所以选用邻接表效率高，如果选用邻接矩阵则效率很低，矩阵中大多数都会是零节点！
  稠密图的非零界点多，零节点少，选用邻接矩阵是最适合不过！

2. 一些计算

• 完全图：无向图中，有1/2*n(n-1)条边的图；有向图中，有n(n-1)条边的图。

3. 其他

• 最小生成树可能不是唯一的，但最小生成树的权值之和一定是唯一的。
• 连通图上各边权值均不相同，则该图的最小生成树是唯一的。