【算法】字符串编辑距离

    字符串的编辑距离即Levenshtein距离，指在两个字符串之间由其中一个字符串通过插入、删除、替换的编辑操作转换为另一个字符串的最小代价，可以当作距离一样来衡量两个字符串之间的相似程度，距离越大则相似程度越低，距离越小则相似程度越高。比如求takers和lakers之间的编辑距离，设插入和删除的代价是1，替换等于删除并插入，故替换的代价是2，takers经过删除t和插入l两步操作可以转换为lakers，那么它们之间的编辑距离就是2。在使用编辑距离时，编辑操作的代价函数可以根据实际情况来进行调整。

    求解编辑距离的过程，我们可以逐个字符考虑，假设现在有两个字符串string1[w1,w2....wn]和string2[c1,c2...cm]，w和c分别为string1和string2的字符。

先考虑第一个字符，

    若w1==c1，即两个字符串第一个字符串相等，不需要经过任何编辑操作，编辑距离为0，则我们只需考虑string1[2:n]和string2[2:m]这两个子字符串之间的编辑距离。

    若w1!=c1，则要考虑string1和string2需要什么编辑操作来使得w1=c1：

1.删除string1的第一个字符w1，接着继续计算string1[2:n]和string2[1:m]的编辑距离即可。

2.将string第一个字符替换为c1，两个字符串首字符相等，则继续计算string1[2,n]和string2[2,m]即可。

......

    考虑string1的第i个字符串和string2的第j个字符串时也是用同样的思想，采用动态规划逐步求解最优值。

    下面是编辑距离的计算方法，对于长度为n的string1和长度为m的string2，建立一个(n+2)*(m+2)的表格edit来记录编辑距离。

    edit[i][j]表示string1[0:i]和string2[0:j]的编辑距离，当i=0时，代表string1为空字符串的情况，此时将string1转换为string2就需要将string2的j个字符串插入到string1中，即编辑距离为j，反之当j=0时也是同一种情况。

    当i>0,j>0时，可以考虑通过插入删除和替换哪种操作可以使得string1第i个字符和string第j个字符相等，经过操作之后，当前的编辑距离就是刚刚操作的代价加上子字符串的编辑距离，如此计算，矩阵右下角就是最终两个完整字符串的编辑距离。

表格的填充规则如下：

实例：

计算cafe和coffee的编辑距离：

首先打好表格：

	null	c	o	f	f	e	e
null
c
a
f
e

填充第一行第一列

	null	c	o	f	f	e	e
null	0	1	2	3	4	5	6
c	1
a	2
f	3
e	4

从3,3格开始，开始计算。取以下三个值的最小值：

• 如果最上方的字符等于最左方的字符，则为左上方的数字。否则为左上方的数字+1。（对于3,3来说为0）
• 左方数字+1（对于3,3格来说为2）
• 上方数字+1（对于3,3格来说为2）

	null	c	o	f	f	e	e
null	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0
a	2
f	3
e	4

从3,4（三行四列）格开始，开始计算。取以下三个值的最小值：

• 如果最上方的字符等于最左方的字符，则为左上方的数字。否则为左上方的数字+1。（对于3,4来说为2）
• 左方数字+1（对于3,4格来说为1）
• 上方数字+1（对于3,4格来说为3）

	null	c	o	f	f	e	e
null	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0	1
a	2
f	3
e	4

按此规则递推出整个表：

	null	c	o	f	f	e	e
null	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0	1	2	3	4	5
a	2	1	1	2	3	4	5
f	3	2	2	1	2	3	4
e	4	3	3	2	2	2	3

得到右下角编辑距离3。