LOJ P6433 BZOJ P5369「PKUSC2018」最大前缀和【状态压缩】

$OrzOrz$想了几天都只想到一半，看大佬们的题解（看完大佬的题解我又要开始转变代码风格了）还看了很久，如果我现场做估计已经跪掉了。

首先，考虑对于答案的计算。

设$max_i$表示第$i$种排列的最大前缀和，由于一共有$n!$个排列，所以最后的答案就应该为：

$$Ans=(\frac{max_1}{n!}+\frac{max_2}{n!}+...+\frac{max_{n!}}{n!})*n!$$
$$Ans=\frac{\sum_{i=1}^{n!}max_i}{n!}*{n!}$$
$$Ans=\sum_{i=1}^{n!}max_{i}$$

所以我们最后的结果其实就是所有排列的最大前缀和之和。

接着，我们来考虑对于每一个排列，最大前缀和出现的位置。假设最大前缀和的前缀的最后一个数的位置为$p$，那么一定$p$之后的数的前缀之和都要$<0$，不然就可以替换掉$p$使得最大前缀和可以更大。所以我们就把每一个排列分为两个部分来考虑，分割点就是$p$。

$Sum[i]$表示$i$这个状态的数值之和。

$f[i]$表示在$i$这个状态下最大前缀和为$Sum[i]$的方案数，转移为：

$$j∉i，Sum[i]>0，f[i]->f[i+j]$$

$g[i]$表示在$i$这个状态下的最大前缀和都$\leq 0$的方案数，转移为：

$$j∉i，Sum[i+j]<=0，f[i]->f[i+j]$$

于是我们就得到了最后的答案：

$$Ans=\sum_{i=0}^{maxState}Sum[i]*f[i]*g[maxState-i]$$

#include <bits/stdc++.h>
#define For(I,L,R) for(I=(L);I<=(R);I++)
using namespace std;

inline int Read(){
    int X=0;char CH=getchar();bool F=0;
    while(CH>'9'||CH<'0'){if(CH=='-')F=1;CH=getchar();}
    while(CH>='0'&&CH<='9'){X=(X<<1)+(X<<3)+CH-'0';CH=getchar();}
    return F?-X:X;
}

const int Mod=998244353;
int F[1<<20],G[1<<20];
int N,T,Ans,A[1<<20],Sum[1<<20];

#define LowBit(X) (X&(-X))
#define Add(X,Y) if(((X)+=(Y))>=Mod) (X)-=Mod

int main(){
    int I,J,K;

    N=Read();T=(1<<N)-1;
    For(I,0,N-1) F[1<<I]=1,A[1<<I]=Read();

    For(I,0,T) Sum[I]=Sum[I^LowBit(I)]+A[LowBit(I)];

    For(I,0,T) if(Sum[I]>0)
        For(J,0,N-1) if(!((I>>J)&1))
            Add(F[I|(1<<J)],F[I]);

    G[0]=1;
    For(I,0,T) if(Sum[I]<=0)
        For(J,0,N-1) if((I>>J)&1)
            Add(G[I],G[I^(1<<J)]);

    For(I,0,T)
        Add(Ans,(1ll*(Sum[I]+Mod)*F[I]%Mod*G[T^I]%Mod));

    printf("%d\n",Ans);
    return 0;
}