素数的定义：一个正整数只能被1和自己整除。
关键字：正整数、只有2个因子。
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知识点罗列：
入门题：判断一个数字是否是素数：
当判断一个数字是素数与否的时候，用适量的数学思维，可以大大减少枚举的次数。以下三个方法是层次递进地减少枚举的量。
1、暴力枚举：O（n）
2、折半枚举：O（n/2）
3、开方枚举：O（√n）
简单题：判断一堆数字是否是素数：
当判断的量上升，也就是同一个操作要执行多次，则需要再用数学思维进行优化，可以枚举的次数再降为。
4、开方枚举（函数版）：O（n*√n）
5、线性筛选：O（n）
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详解：
1、暴力枚举O（n）：从2->（x-1）枚举判断，是否有因子。
//判断素数1：暴力枚举
//时间复杂度：O（n）
#include<cstdio>
int main()
{
int x;
scanf("%d",&x);
if(x>1)//素数一定大于 1（性质）
{
for(int i=2;i<x;i++)
{
if(x%i==0)
{
printf("0");//有因子，非素数
return 0;
}
}
}
printf("1");
return 0;
}
2、折半枚举O（n/2）：
思维的优化：
例如：一个数字是48，能被2整除，就是2*24=48。
所以：只要找到2，就会找到对应的24；
只要枚举前面一半的数字，就等于同时枚举了另外一半。
//判断素数2：简单优化砍一半
//时间复杂度：O（n/2）
#include<cstdio>
int main()
{
int x,y;
scanf("%d",&x);
y=x/2;//y是x的一半
if(x>1)
{
for(int i=2;i<y;i++)//枚举的次数只有原来的一半
{
if(x%i==0)
{
printf("0");//有因子，非素数
return 0;
}
}
}
printf("1");
return 0;
}
3、开方枚举：O（√n）
思维的再优化：
例如：一个数字是48，能被2整除，就是2*24=48。
如果将48的因子分成2堆：2属于左边堆，24属于右边堆。那么这两堆因子的交汇点会在哪里呢？
答案是：开根号的地方。
所以：只要枚举到这个数字的开根号，就等于同时枚举了另外一半的因子。
//判断素数3：继续优化：降维
//时间复杂度：O（√n）
#include<cstdio>
#include<cmath>//sqrt开根函数要用
int main()
{
int x,y;
scanf("%d",&x);
y=sqrt(x+1);//y表示x的开根因子的取整，+1是保险
if(x>1)
{
for(int i=2;i<=y;i++)//枚举的次数只有原来的开根号次
{
if(x%i==0)
{
printf("0");//有因子，非素数
return 0;
}
}
}
printf("1");
return 0;
}
题目升级：求1-n的所有素数
4、开方枚举（函数版）：O（n*√n）
//求1-n的素数：函数版
//时间复杂度：O（n√n）
#include<cstdio>
#include<cmath>//sqrt开根函数要用
int pd(int x)//当前判断的数字是x
{
if(x<2) return 0;//小于2，非素数
int t=sqrt(x+1);
for(int i=2;i<=t;i++)
{
if(x%i==0) return 0;//有因子的话，非素数
}
return 1;//是素数
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(pd(i)==1)//如果函数返回值是1，就是素数
{
printf("%d ",i);
}
}
return 0;
}
5、线性筛选：O（n）
当n的值很大的时候，对于每个n枚举因子，还是很大的运算量。
所以需要用到一个打表的思维，用数组f[i]来表示i是否素数：
1、设全部的数字都是素数；
2、小的奇数应该是素数；
3、素数的倍数一定不是素数，剔除；
//求1-n的素数：线性筛选
//时间复杂度：O（n）
#include<cstdio>
#include<cstring>//memset函数用
int f[100005];//10W以内的素数表
int main()
{
int n=100000;
memset(f,0,sizeof(f));//将f数组初始化为0：素数
f[1]=1;//1不是素数
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(f[i]==0)//i是素数，
{
for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
{
f[j]=1;//i的倍数都不是素数
}
}
}
//以上是打表部分
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)//直接查表，完美！
{
if(f[i]==0) printf("%d ",i);
}
return 0;
}到这里，素数的入门介绍就差不多了。如果有兴趣了解更多数论知识的同学，
请移步到 NOIP学习大纲整理 里面有2个章节，从入门开始讲数论。加油o~