「Codeforces 1027C」Minimum Value Rectangle

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题目链接：https://codeforces.com/contest/1027/problem/C

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Description

  有 $N$ 条线段，选择 $4$ 条线段组成一个矩形，记 $P$ 为矩形的周长，$S$ 为矩形的面积，求使得 $\dfrac{P^2}{S}$ 最小的 $4$ 条线段（保证有解）。

  $T$ 组数据，$1\leqslant T\leqslant 10^6$，$4\leqslant N\leqslant 10^6$，$1\leqslant a_i\leqslant 10^4$

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Solution

  设 $4$ 条线段为 $a,a,b,b\ (a\leqslant b)$，则有 $P=2\cdot(a+b)$，$S=ab$，得

$$\frac{P^2}{S}=\frac{4a^2+4b^2+8ab}{ab}=4(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+8$$

  易知我们只需要最小化 $\dfrac{b}{a}$ 即可（千万注意此处 $b\geqslant a$）。

分类讨论

1. 如果有 $4$ 条相等的线段，肯定选取这 $4$ 条。
2. 否则将数量不小于 $2$ 的线段从小到大排序，贪心选择相邻的线段。将当前的 $a',b'$ 和已知的较优解 $a,b$ 比较得出更优解。

  注意精度问题！我们可以将判定条件 $\dfrac{b'}{a'}<\dfrac{b}{a}$ 转化为 $ab'<a'b$ 即可防止精度问题。

  时间复杂度：$\Theta(TN\log a_{\max})$

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Code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <map>
#define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
inline char in() {
    static char buf[10001],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,10000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template <class Tp> void read(register Tp &s) {
    s=0;
    register bool neg=0;
    register char c;
    while(!isdigit(c=in())) if(c=='-') neg=1;
    while(s=(s<<3)+(s<<1)+c-48,isdigit(c=in()));
    s=(neg?-s:s);
}

int T,n,a[1000005];
std::map<int,int> cnt;
int main() {
    for(read(T);T;--T) {
        cnt.clear();
        read(n);
        int t,m=0;
        FOR(i,1,n) read(t),cnt[t]++;
        bool flg=0;
        for(std::map<int,int>::iterator it=cnt.begin();it!=cnt.end();++it) {
            if((*it).second>=2) a[++m]=(*it).first;
            if((*it).second>=4) {
                flg=1;
                int ans=(*it).first;
                printf("%d %d %d %d\n",ans,ans,ans,ans);
                break;
            }
        }
        if(flg) continue;
        int x=a[1],y=a[2];
        FOR(i,3,m) if(x*a[i]<a[i-1]*y) x=a[i-1],y=a[i];
        printf("%d %d %d %d\n",x,x,y,y);
    }
    return 0;
}