怪物牛繁殖问题

假设初始有一对牛，每个月生出一对小牛，新生的小牛过三个月成长为大牛，并开始繁殖，在假设所有牛不死亡的情况下，问第 $n$ 个月有多少对牛？ (假设第 $n$ 个月有 $a[n]$ 对牛,那么 $a[1] = 2, a[2] = 3, a[3] = 4, a[4] = 5, a[5] = 7\cdots$依次类推 )

因为新生的小牛经过三个月可以成为大牛并开始繁殖，所以如果假设第 $n$ 个月出生 $b[n]$ 对小牛，那么其等于上个月的大牛对数 $b[n-1]$ 和 第 $n-4$ 个月(经过三个月)出生的小牛对数 $b[n-4]$，所以有

$$\begin{equation} b[n]=\left\{ \begin{array} 11 & & n = 1,2,3,4\\ b[n-1] + b[n-4] & & n > 4 \end{array} \right. \end{equation}$$

再加上有一对初始的大牛，所以第 $n$ 个月的牛对数为

$$\begin{equation} a[n]=1+\sum_{i=1}^n b[i]\end{equation}$$

所以求出 $b[n]$，即可得出 $a[n]$，求 $b[n]$ 有两种方法：

方法一：
由递推关系可知

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b[n-1]\\ b[n-2]\\ b[n-3]\\ b[n-4] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b[n]\\ b[n-1]\\ b[n-2]\\ b[n-3] \end{pmatrix}$$

令

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

由于 $det(M) = -1 \not= 0$，所以 $M$ 可以对角化为 $M = VDV^{-1}$，所以有 $VD^{n}V^{-1}(b[4],b[3],b[2],b[1])^T=(b[n],b[n-1],b[n-2],b[n-3])$

方法二：
假设 $q$ 是方程 $x^4=x^3+1$ 的解，则显然有 $q^{n-4}\cdot q^4 = q^{n-4} \cdot q^3 + q^{n-4}$，所以递推关系$b[n] = b[n-1]+b[n-4]$ 的解可以是 $b[n]=q^n$ 且 $(n>4)$ ，所以可以直接推出

$$a[n]=\left\{ \begin{array} nn+1 && 4 \ge n \ge 1\\ \frac{q^{n-1}-q^5+4q-4}{q-1}+1 & & n> 4 \end{array} \right.$$
其中 $q$ 为 $x^4-x^3-1=0$ 的解。

其中的一个 $q$ 解为
$q=-{{\sqrt{-{{\sqrt{3},\left({{\sqrt{283}}\over{2,3^{{{3 }\over{2}}}}}-{{1}\over{2}}\right)^{{{1}\over{6}}}}\over{2,\sqrt{12 ,\left({{\sqrt{283}}\over{2,3^{{{3}\over{2}}}}}-{{1}\over{2}} \right)^{{{2}\over{3}}}+3,\left({{\sqrt{283}}\over{2,3^{{{3}\over{ 2}}}}}-{{1}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3}}}-16}}}-\left({{\sqrt{283} }\over{2,3^{{{3}\over{2}}}}}-{{1}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3}}}+ {{4}\over{3,\left({{\sqrt{283}}\over{2,3^{{{3}\over{2}}}}}-{{1 }\over{2}}\right)^{{{1}\over{3}}}}}+{{1}\over{2}}}}\over{2}}-{{ \sqrt{12,\left({{\sqrt{283}}\over{2,3^{{{3}\over{2}}}}}-{{1}\over{ 2}}\right)^{{{2}\over{3}}}+3,\left({{\sqrt{283}}\over{2,3^{{{3 }\over{2}}}}}-{{1}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3}}}-16}}\over{4, \sqrt{3},\left({{\sqrt{283}}\over{2,3^{{{3}\over{2}}}}}-{{1}\over{ 2}}\right)^{{{1}\over{6}}}}}+{{1}\over{4}}$