010指北方位惯导系统的力学编排之平台的指令角速度

一、指令角速度

惯性平台与飞机的位置关系

如图所示，在位置A时，惯性平台（红色）平行于水平面。但是到达B位置后，水平面发生改变，如果平台不改变，那么就不再平行于水平面。要使其平行，惯性平台在飞机飞行时必须要得到一个角速度的命令，根据水平面的改变不断调整，始终平行于水平面。那么这个角速度的命令就是指令角速度。

二、坐标系

在指北方位惯导系统中，以地理坐标系（g系）为导航坐标系，即T系相对于惯性系的角速度 = g系相对于惯性系的角速度。

{\vec{ω}}_{i T} = {\vec{ω}}_{i g}

$\vec{\omega}_{iT}=\vec{\omega}_{ig}$

三、指令加速度的推导

计算是在导航坐标系中进行，所以要把角速度投影到T系（或g系）。

首先，g系相对于i系的角速度可以分解为两部分：
跟随地球旋转的角速度 $\vec{\omega}_{ie}$ ；
飞机运动产生的相对于地球的旋转角速度 $\vec{\omega}_{eg}$ 。

{\vec{ω}}_{i g} = {\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e g}

$\vec{\omega}_{ig}=\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eg}$

跟随地球自转的角速度其实就是地球的自转角速度。可以这么想，你站在地球上不动，你相对惯性系的角速度就是地球的自转角速度。如果你跑起来，你相对惯性系的角速度，不仅有地球自转角速度，还有你相对地球的角速度。

1、跟随地球旋转的角速度

再说一遍，跟随地球自转的角速度其实就是地球的自转角速度。

下面将地球的自转角速度投影到g系。

地球自转角速度投影

如图所示，圆圈表示子午圈。
从该平面看来，
$S$ 点垂直纸面向里为地理系东向，
$\vec{\omega}_{ie}cosL$ 为地理系北向，
$\vec{\omega}_{ie}sinL$ 为地理系天向。

根据右手规则地球自转角速度如 $\vec{\omega}_{ie}$ 方向，
那么它在东向的投影为0，
北向投影为 $\vec{\omega}_{ie}cosL$ ，
天向投影为 $\vec{\omega}_{ie}sinL$ 。
所以可得飞机跟随地球自转所产生的相对于惯性系的角速度在g系上的投影为：

{\vec{ω}}_{i e}^{T} = {\vec{ω}}_{i e}^{g} = [\begin{matrix} 0 \\ ω_{i e} c o s L \\ ω_{i e} s i n L \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{ie}^{T}=\vec{\omega}_{ie}^{g}= \left[ \begin{matrix} 0\\ \omega_{ie}cosL\\ \omega_{ie}sinL\\ \end{matrix} \right]$

2、飞机运动产生的相对于地球的旋转角速度

该部分的角速度需要通过线速度来进行求解。假定飞机相对于地球的速度为：

\vec{V} = [\begin{matrix} V_{E} \\ V_{N} \\ V_{U} \end{matrix}]

$\vec{V}= \left[ \begin{matrix} V_{E}\\ V_{N}\\ V_{U}\\ \end{matrix} \right]$
其产生的角速度为：

{\vec{ω}}_{e g} = [\begin{matrix} ω_{e g x} \\ ω_{e g y} \\ ω_{e g z} \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{eg}= \left[ \begin{matrix} \omega_{egx}\\ \omega_{egy}\\ \omega_{egz}\\ \end{matrix} \right]$
投影到 g系上为：

{\vec{ω}}_{e g}^{g} = [\begin{matrix} ω_{e g x}^{T} \\ ω_{e g y}^{T} \\ ω_{e g z}^{T} \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{eg}^g= \left[ \begin{matrix} \omega_{egx}^T\\ \\ \omega_{egy}^T\\ \\ \omega_{egz}^T\\ \end{matrix} \right]$

(1)飞机东向速度 $V_E$ 产生的角速度

飞机的东向速度，即在上图中 $S$ 点垂直于纸面向里的方向，其角速度沿着纸面竖直向上。

东向角速度

如图所示，首先求得其角速度为：

ω_{e g z} = \frac{V_{E}}{R_{N} c o s L}

$\omega_{egz}=\frac{V_E}{R_NcosL}$

东向速度，同一纬圈，半径应该为卯酉圈的曲率半径的余弦值： $R_{N}cosL$

类比前面的跟随地球自转的角速度投影，可以得到东向速度在g系中的投影为:

${\vec{ω}}_{e g}^{g} = [\begin{matrix} 0 \\ \frac{V_{E}}{R_{N} c o s L} c o s L \\ \frac{V_{E}}{R_{N} c o s L} s i n L \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ \frac{V_{E}}{R_{N}} \\ \frac{V_{E}}{R_{N}} t a n L \end{matrix}]$ $\vec{\omega}_{eg}^g= \left[ \begin{matrix} 0\\ \\ \frac{V_E}{R_NcosL}cosL\\ \\ \frac{V_E}{R_NcosL}sinL\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0\\ \\ \frac{V_E}{R_N}\\ \\ \frac{V_E}{R_N}tanL\\ \end{matrix} \right]$

(2)飞机北向速度 $V_N$ 产生的角速度

飞机的北向速度，如下图所示。那么它产生的角速度方向向左，即 $\frac{V_N}{R_M}$ 方向。或者在第二个图中， $S$ 点垂直于纸面向外的方向。

北向角速度

那么北向速度产生的角速度只会在g系的x轴负方向产生投影。
首先求角速度：

ω_{e g x} = - \frac{V_{N}}{R_{M}}

$\omega_{egx}=-\frac{V_N}{R_M}$

北向速度，同一经圈，半径应该为子午圈的曲率半径： $R_{M}$

再求北向速度产生的角速度在g系产生的投影，即：

${\vec{ω}}_{e g}^{g} = [\begin{matrix} - \frac{V_{N}}{R_{M}} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$ $\vec{\omega}_{eg}^g= \left[ \begin{matrix} -\frac{V_N}{R_M}\\ 0\\ 0\\ \end{matrix} \right]$

(3)飞机天向速度 $V_U$ 产生的角速度

飞机的天向速度，因为不会绕地球相对转动，所以不会产生角速度，所以：

${\vec{ω}}_{e g}^{g} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$ $\vec{\omega}_{eg}^g= \left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix} \right]$

综上，飞机相对地球的旋转角速度在g系的投影为：

{\vec{ω}}_{e g}^{g} = [\begin{matrix} - \frac{V_{N}}{R_{M}} \\ \frac{V_{E}}{R_{N}} \\ \frac{V_{E}}{R_{N}} t a n L \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{eg}^g= \left[ \begin{matrix} -\frac{V_N}{R_M}\\ \\ \frac{V_E}{R_N}\\ \\ \frac{V_E}{R_N}tanL\\ \end{matrix} \right]$

所以得到指令角速度：

{\vec{ω}}_{i T}^{T} = {\vec{ω}}_{i g}^{g} = {\vec{ω}}_{i e}^{g} + {\vec{ω}}_{e g}^{g} = [\begin{matrix} - \frac{V_{N}}{R_{M}} \\ ω_{i e} c o s L + \frac{V_{E}}{R_{N}} \\ ω_{i e} s i n L + \frac{V_{E}}{R_{N}} t a n L \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{iT}^T=\vec{\omega}_{ig}^g= \vec{\omega}_{ie}^{g}+\vec{\omega}_{eg}^{g}= \left[ \begin{matrix} -\frac{V_N}{R_M}\\ \\ \omega_{ie}cosL+\frac{V_E}{R_N}\\ \\ \omega_{ie}sinL+\frac{V_E}{R_N}tanL\\ \end{matrix} \right]$