[bzoj1225][DP][奇技淫巧]求正整数

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Description

对于任意输入的正整数n，请编程求出具有n个不同因子的最小正整数m。例如：n=4，则m=6，因为6有4个不同整数因子1，2，3，6；而且是最小的有4个因子的整数。

Input

n（1≤n≤50000）

Output

m

Sample Input

4

Sample Output

6

题解

高精度问题
如果不涉及加减法
可以对答案取对数进行计算
这是这题的小姿势
根据约数和公式
$\prod_{i=1}^{k}{(a[i]+1)}$
其中这个数N能被写成
$p_1^{a_1}p_2^{a_2}...$
设DP方程 $f[i][j]$表示已经有i个约数，使用了前j个质数能组成的最小数
枚举最后一个质数的次数
显然有
$f[i][j]=\sum min(f[\frac{i}{k}][j-1]*pr[j]^{k-1})$
然后 发现不能搞高精度DP
取对数
变成
$f[i][j]=\sum min(f[\frac{i}{k}][j-1]+(k-1)*log(pr[j]))$
计算即可
因为N一定能被写成 $\prod_{i=1}^{k}{(a[i]+1)}$的形式
所以我们其实可以只预处理他的约数
状态改为 $f[i][j]$表示到他的第i个约数，使用了前j个质数能组成的最小数
方程变为
$f[i][j]=\sum_{p[k]|p[i]}f[k][j-1]+(\frac{p[i]}{p[k]}-1)*log(pr[j])$

/*
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*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int pr[17]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
double f[550][20],Log[550];
int p[550],plen,n;
int A[1100000],len;
void mul(int x)
{
	for(int i=1;i<=len;i++)A[i]*=x;
	for(int i=1;i<len;i++)A[i+1]+=A[i]/10,A[i]%=10;
	while(A[len]>=10)
	{
		A[len+1]+=A[len]/10;A[len]%=10;
		len++;
	}
}
int main()
{
	Log[1]=0;
	for(int i=2;i<=60;i++)Log[i]=Log[i>>1]+1;
	scanf("%d",&n);
	//n=(k1+1)(k2+1)(k3+1)...
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!(n%i))p[++plen]=i;
	for(int i=1;i<=16;i++)Log[i]=log(pr[i]);
	for(int i=1;i<=16;i++)f[0][i]=0;
	for(int i=2;i<=plen;i++)//枚举约数 
	{
		for(int j=0;j<=16;j++)f[i][j]=1e9;
		for(int j=1;j<i;j++)if(!(p[i]%p[j]))
		{
			int t=p[i]/p[j];//这个质数贡献t-1次幂
			for(int k=1;k<=16;k++)f[i][k]=min(f[i][k],f[j][k-1]+(t-1)*Log[k]); 
		}
	}
	A[1]=1;len=1;
	int pa=0,gg=0;
	for(int i=1;i<=16;i++)if(f[plen][i]<f[plen][pa]||!pa)pa=i;
	for(int i=plen,nxt;i!=1;i=nxt,pa--)
	{
		for(nxt=1;p[i]%p[nxt]||f[i][pa]<f[nxt][pa-1]+(p[i]/p[nxt]-1)*Log[pa]-1e-5;nxt++);
		for(int k=1;k<p[i]/p[nxt];k++)
			mul(pr[pa]);
	}
	for(int i=len;i>=1;i--)printf("%d",A[i]);
	puts("");
	return 0;
}