二叉索引树（树状数组）

二叉索引树（Binary Indexed Tree），又叫树状数组，主要是用于解决动态连续和查询问题。

给定一个n个元素的数组A1，A2，....，An，你的任务是设计一个数据结构，支持以下两种操作。

Add(x,d)操作：让Ax增加d。
Query（L,R）：计算A_L+A_L+1+...A_R。

对于正整数X，我们定义lowbit(x)为想的二进制表达式中最右边所对应的值。比如由38288的二进制是1001010110010000可知lowbit(38288) = 16。我们将从0到n-1这n个数取lowbit，将数值相同的节点放在同一行上就可以得到一棵BIT树，而且lowbit值越大，越靠近根。

根据整数补码表示的原理得到计算lowbit的方法是

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

对于每一个结点i，如果它是左子结点，那么它的父节点编号是i+lowbit(i)；如果它是右子结点，那么它的父节点编号是i-lowbit(i)。这样我们可以构造一个辅助数组C，其中

　　C_i= A_{i - lowbit(i) + 1} + A_{i - lowbit(i) + 2} +...+ A_i

也即C的每个元素都是A数组中的一段连续和。

有了C数组之后怎么计算前缀和呢？

有了它和父结点的关系，我们可以顺着结点i往左走，将沿途的C累加起来即可。具体实现如下：

int sum(int x) {
    int res = 0;
    while(x > 0) {
        res += C[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

对于第一种操作又怎么更新C数组中的元素呢？

同样有了它和父节点的关系，修改了一个A_i，我们从C_i开始往左走，沿途修改所有节点对应的C_i即可。具体实现如下：

int add(int x, int d) {
    while(x <= n) {
        C[x] += d;
        x += lowbit(x);
    }
}

可以看出两个操作的时间复杂度均为O（logn）。预处理时将A和C数组清空，然后执行n次add操作，总时间复杂度为O(n*logn)。

直接看一道例题：LA4329 Ping pong

题意是有n个人，每个人都有一个技能值，问能够举行多少场比赛，组成比赛的条件是三个人，两个选手，一个裁判，这个裁判必须住在两个选手的中间，而且技能值必须也在两者之间。

乍一看好像不是直接动态区间求和的题，我们仔细分析一下，设a₁到a_i-1有ci个小于a_i，那么就有i - 1 - c_i个大于a_i的数字，同样道理设ai到an有di个比ai小，就有n-i-di个比ai大。然后根据乘法原理总的方法数等于ci * (n - i - di) + di * (i - 1 - ci)。现在问题的关键是怎么求解ci和di。

其实我们将ai作为一个下标，每次将这个位置上的值修改为1，然后查询Ca_i-1，也就是前i - 1项的和，就是前面有几个比ai小的数。类似的倒序遍历ai查询，得到bi。最后一个循环计算所有的比赛数。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <vector>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn = 20000 + 10;
 8 int n, a[maxn], c[maxn], d[maxn];
 9 
10 struct BIT {
11     int n;
12     vector<int> C;
13     
14     void resize(int n) {
15         this->n = n;
16         C.resize(n);
17     }
18     void clear() {
19         fill(C.begin(), C.end(), 0);
20     }
21     int lb(int k) {
22         return k & -k;
23     }
24     
25     void add(int x, int d) {
26         while(x <= n) {
27             C[x] += d;
28             x += lb(x);
29         }
30     }
31     
32     int sum(int x) {
33         int res = 0;
34         while(x > 0) {
35             res += C[x];
36             x -= lb(x);
37         }
38         return res;
39     }
40 }f;
41 int main()
42 {
43     int T;
44     scanf("%d", &T);
45     while(T--) {
46         scanf("%d", &n);
47         int maxa = 0;
48         for(int i = 1; i <= n; i++) {
49             scanf("%d", &a[i]);
50             maxa = max(maxa, a[i]);
51         }
52         
53         f.resize(maxa);
54         f.clear();
55         for(int i = 1; i <= n; i++) {
56             f.add(a[i], 1);
57             c[i] = f.sum(a[i] - 1);
58         }
59         f.clear();
60         for(int i = n; i >= 1; i--) {
61             f.add(a[i], 1);
62             d[i] = f.sum(a[i] - 1);
63         }
64         
65         long long ans = 0;
66         for(int i = 1; i <= n; i++) {
67             ans += (long long)c[i] * (n - i - d[i]) + (long long)d[i] * (i - 1 - c[i]);
68         }
69         printf("%lld\n", ans);
70     }
71     return 0;
72 }

二叉索引树（树状数组）

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