牛客网暑期ACM多校训练营（第九场

C Gambling
一开始感觉这个题似乎没什么逻辑，博主只是跟着题解AC了一遍。。等写博客的时候大概想了想概率与此时应加的钱的关系，才觉得有点道理。
我们要明白两件事情。
第一，一开始的概率为1/2。
第二，题解上写的概率的转换。也就是设当前胜率为p，那么如果下一场赢了，胜率会变成p+q,输了胜率会变成p-q。
总之只需要明白胜率会进行加加减减知道最后变成1或者0。所以这也就说明了为什么下注的钱为什么为 $2q*2^{2n-1}$ ，因为胜率的变化只是线性变化，那么你的胜率从1/2到1与钱从0到 $2^{2*n-1}$ 的变化量应该成正相关的，所以你只要算出前面一次函数前面的系数就ok了，那么显然前面的系数就为 $2*2^{2n-1}$ 。
可能说的不是很清楚，大家可以自己理解理解。。
那么现在关注点就在如何求胜率啦，这个参考题解就行了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2e5+5;
const int mod=1000000007;

//***************************************************
//返回d=gcd(a,b)；和对应于等式ax+by=d中的x，y
long long extgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a==0&&b==0)return -1;//无最大公约数
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    long long d=extgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;//返回gcd(a,b)
}
//****************求逆元******************************
//ax=1(mod n)
long long mod_reverse(long long a,long long n)
{
    long long x,y;
    long long d=extgcd(a,n,x,y);
    if(d==1)return (x%n+n)%n;
    return -1;
}


long long tab1[maxn],tab2[maxn];
long long two[maxn];
void init()
{
    two[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        two[i]=two[i-1]*2%mod;
    tab1[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        tab1[i]=tab1[i-1]*i%mod;
    tab2[maxn-1]=mod_reverse(tab1[maxn-1],mod);
    for(int i=maxn-2;i>=0;i--)
        tab2[i]=tab2[i+1]*(i+1)%mod;
}
long long C(int a,int b)
{
    if(a<b)return 0;
    return tab1[a]*tab2[b]%mod*tab2[a-b]%mod;
}
long long gett(int a)
{
    return two[a];
}

int main()
{
    init();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i=0,j=0;
    //printf("%lld\n",gett(1)*C(2*n-2,n-1)%mod);
    int tmp;
    while(1)
    {
        printf("%lld\n",gett(1+i+j)*C(2*n-2-i-j,n-i-1)%mod);
        scanf("%d",&tmp);
        if(tmp==0)i++;
        else j++;
        if(i==n||j==n)break;
    }
    return 0;


}

F Typing practice
第一次见trie图，没做出来。。赛后补题觉得这个思路十分正确啊，也没有什么拐弯的地方，属于套路题，这里mark一下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
struct Trie
{
    int next[maxn][30],fail[maxn],End[maxn];
    int root,L;
    int newnode()
    {
        for(int i=0;i<26;i++)
            next[L][i]=-1;
        End[L++]=0;
        return L-1;
    }
    void init()
    {
        L=0;
        root=newnode();
    }
    void insert(char buf[],int idx)
    {
        int len=strlen(buf);
        int now=root;
        for(int i=0;i<len;i++)
        {
            if(next[now][buf[i]-'a']==-1)
                next[now][buf[i]-'a']=newnode();
            now=next[now][buf[i]-'a'];
        }
        End[now]=End[now]|(1<<idx);
    }
    void build()
    {
        queue<int>Q;
        fail[root]=root;
        for(int i=0;i<26;i++)
        {
            if(next[root][i]==-1)
                next[root][i]=root;
            else
            {
                fail[next[root][i]]=root;
                Q.push(next[root][i]);
            }
        }
        while(!Q.empty())
        {
            int now=Q.front();Q.pop();
            End[now]|=End[fail[now]];
            for(int i=0;i<26;i++)
            {
                if(next[now][i]==-1)
                    next[now][i]=next[fail[now]][i];
                else
                {
                    fail[next[now][i]]=next[fail[now]][i];
                    Q.push(next[now][i]);
                }
            }
        }
    }
    void debug()
    {
        for(int i=0;i<L;i++)
            {
                printf("id = %3d,fail = %3d,end = %3d,chi = [",i,fail[i],End[i]);
                for(int j=0;j<26;j++)
                    printf("%2d",next[i][j]);
                printf("]\n");
            }
    }
}ac;
char s[maxn];
int d[maxn];
vector<int>V[maxn];
stack<int>S;
void solve()
{
    memset(d,-1,sizeof(d));
    for(int i=0;i<ac.L;i++)
    {
        for(int j=0;j<26;j++)
            if(ac.next[i][j]!=-1)
            V[ac.next[i][j]].push_back(i);
    }
    queue<int>Q;
    for(int i=0;i<ac.L;i++)
        if(ac.End[i]!=0)
        Q.push(i),d[i]=0;
    while(!Q.empty())
    {
        int x=Q.front();Q.pop();
        for(int v:V[x])
        {
            if(d[v]==-1)
                d[v]=d[x]+1,Q.push(v);
        }
    }
    int now=ac.root;
    printf("%d\n",d[now]);
    S.push(now);
    int len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(s[i]=='-')
        {
            S.pop();
            if(S.size())
            {
                now=S.top();
            }
            else S.push(0),now=0;
            printf("%d\n",d[now]);
        }
        else
        {
            now=ac.next[now][s[i]-'a'];
            printf("%d\n",d[now]);
            S.push(now);
        }
    }
}

int main()
{
    ac.init();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        ac.insert(s,i);
    }
    ac.build();
    //ac.debug();
    scanf("%s",s);
    solve();
}

H Prefix Sum
首先呢，你需要推出第k行的每个数与第一项的关系(化繁为简)。也就是题解中的式子。
然后在按照题解一步步的推，似乎没什么逻辑上的问题啊。。
总之就是推推推。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int mod=1000000007;
//***************************************************
//返回d=gcd(a,b)；和对应于等式ax+by=d中的x，y
long long extgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a==0&&b==0)return -1;//无最大公约数
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    long long d=extgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;//返回gcd(a,b)
}
//****************求逆元******************************
//ax=1(mod n)
long long mod_reverse(long long a,long long n)
{
    long long x,y;
    long long d=extgcd(a,n,x,y);
    if(d==1)return (x%n+n)%n;
    return -1;
}

long long tab1[maxn],tab2[maxn];
void init()
{
    tab1[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        tab1[i]=tab1[i-1]*i%mod;
    tab2[maxn-1]=mod_reverse(tab1[maxn-1],mod);
    for(int i=maxn-2;i>=0;i--)
        tab2[i]=tab2[i+1]*(i+1)%mod;
}

long long C(int a,int b)
{
    if(a<0)
    {
        if(b%2)return C(-a+b-1,b)*-1;
        return C(-a+b-1,b);
    }
    else
    {
        if(a<b)return 0;
        return tab1[a]*tab2[b]%mod*tab2[a-b]%mod;
    }
}

long long sum[45][maxn];
#define lowbit(x) x&(-x)
void add(int x,long long val,long long sum[])
{
    while(x<maxn)
    {
        sum[x]=(sum[x]+val)%mod;
        x+=lowbit(x);
    }
}

long long query(int x,long long sum[])
{
    long long res=0;
    while(x)
    {
        res=(res+sum[x])%mod;
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}

//
int n,m,k;
long long a[maxn];
void update(long long x,long long y)
{
    for(int j=0;j<=k;j++)
    {
        long long tmp=(y*C(k-x,k-j)%mod+mod)%mod;
        add(x,tmp,sum[j]);
    }
}

void Query(long long x)
{
    long long ans=0;
    for(int j=0;j<=k;j++)
    {
        long long tmp=C(x,j);
        long long tmp2=query(x,sum[j]);
        ans=(ans+tmp*tmp2%mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

void solve()
{
    int opt;
    long long x,y;
    while(m--)
    {
        scanf("%d",&opt);
        if(opt==0)
        {
            scanf("%lld %lld",&x,&y);
            update(x,y);
        }
        else
        {
            scanf("%lld",&x);
            Query(x);
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
    k--;
    solve();
}

G Longest Common Subsequence
这题是整套题研究时间最长的题了，因为博主不知道怎么分治求四维偏序。所以特意去学了下cdq分治。
第一步你首先可以记录每个数组中的每个数所在的位置，然后依题解所说建立一个四维的点，找到一个最长上升子序列即可。
所以学会四维偏序后，因为这不是求点的偏序个数，而是求最长上升子序列，所以你分治的顺序和树状数组维护的东西需要改变。因为你要保证求左边对右边的影响时，左边必须已经被处理。所以分治的顺序应该把处理右边的放在合并后面。
而求最长上升子序列，那么树状数组只需要维护前缀最大值即可了。
详细见代码吧。
如果不清楚cdq分治的同学请戳此链接

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=8e4+5;

struct Item
{
    int d1,d2,d3,d4,part;
    int idx;
    Item(int tmp[])
    {
        d1=tmp[1];
        d2=tmp[2];
        d3=tmp[3];
        d4=tmp[4];
    }
    Item() {}
} a[maxn];

int acnt;

const int LEFT=0;
const int RIGHT=1;
//
int arr[maxn];
inline int lowbit(int num)
{
    return num&(-num);
}
void add(int idx,int val)
{
    while(idx<maxn)
    {
        arr[idx]=max(arr[idx],val);
        idx+=lowbit(idx);
    }
}
int query(int idx)
{
    int ans=0;
    while(idx)
    {
        ans=max(ans,arr[idx]);
        idx-=lowbit(idx);
    }
    return ans;
}
void clear(int idx)
{
    while(idx<maxn)
    {
        if(arr[idx]==0)break;
        arr[idx]=0;
        idx+=lowbit(idx);
    }
}
//
Item tmp3d[maxn];
Item tmp2d[maxn];
int dp[maxn];
bool cmpb(const Item &a,const Item &b)
{
    return a.d2<b.d2;
}

bool cmpc(const Item &a,const Item &b)
{
    return a.d3<b.d3;
}

bool cmpa(const Item &a,const Item &b)
{
    return a.d1<b.d1;
}

Item tmp4[maxn];
void cdq3d(int L,int R)
{
    if(R-L<=1)return;
    int M=(L+R>>1);
    cdq3d(L,M);
    sort(tmp2d+L,tmp2d+M,cmpc);
    for(int i=M;i<R;i++)
        tmp4[i]=tmp2d[i];
    sort(tmp2d+M,tmp2d+R,cmpc);
    int p=L,q=M,o=L;
    while(p<M&&q<R)
    {
        if(tmp2d[p].d3<tmp2d[q].d3)
        {
            if(tmp2d[p].part==LEFT)add(tmp2d[p].d4,dp[tmp2d[p].idx]);
            tmp3d[o++]=tmp2d[p++];
        }
        else
        {
            if(tmp2d[q].part==RIGHT)dp[tmp2d[q].idx]=max(dp[tmp2d[q].idx],query(tmp2d[q].d4-1)+1);
            tmp3d[o++]=tmp2d[q++];
        }
    }
    while(p<M)tmp3d[o++]=tmp2d[p++];
    while(q<R)
    {
        if(tmp2d[q].part==RIGHT)dp[tmp2d[q].idx]=max(dp[tmp2d[q].idx],query(tmp2d[q].d4-1)+1);
        tmp3d[o++]=tmp2d[q++];
    }
    for(int i=L; i<R; i++)
    {
        if(tmp3d[i].part==LEFT)clear(tmp3d[i].d4);
        //tmp2d[i]=tmp3d[i];
    }
    for(int i=M;i<R;i++)
        tmp2d[i]=tmp4[i];
    cdq3d(M,R);
}
Item tmp3[maxn];



void cdq2d(int L,int R)
{
    if(R-L<=1)return;
    int M=L+R>>1;
    cdq2d(L,M);

    sort(a+L,a+M,cmpb);
    for(int i=M; i<R; i++)
        tmp3[i]=a[i];
    sort(a+M,a+R,cmpb);
    int p=L,q=M,o=L;
    while(p<M&&q<R)
    {
        if(a[p].d2<a[q].d2)
        {
            a[p].part=LEFT;
            tmp2d[o++]=a[p++];
        }
        else
        {
            a[q].part=RIGHT;
            tmp2d[o++]=a[q++];
        }
    }
    while(p<M)
    {
        a[p].part=LEFT;
        tmp2d[o++]=a[p++];
    }
    while(q<R)
    {
        a[q].part=RIGHT;
        tmp2d[o++]=a[q++];
    }
    //for(int i=L;i<R;i++)a[i]=tmp2d[i];
    cdq3d(L,R);
    for(int i=M; i<R; i++)
        a[i]=tmp3[i];
    cdq2d(M,R);
}
vector<int>p[5][10005];
int tmp[5];
void dfs(int x,int d)
{
    if(d==5)
    {
        a[acnt]=Item(tmp);
        a[acnt].idx=acnt;
        acnt++;
        return;
    }
    for(int u:p[d][x])
    {
        tmp[d]=u;
        dfs(x,d+1);
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int aa;
    for(int i=1; i<=4; i++)
    {
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            scanf("%d",&aa);
            p[i][aa].push_back(j);
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        dfs(i,1);
    for(int i=0; i<acnt; i++)
        dp[i]=1;
    sort(a,a+acnt,cmpa);
    cdq2d(0,acnt);
    int ans=0;
    for(int i=0; i<acnt; i++)
        ans=max(ans,dp[i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

牛客网暑期ACM多校训练营（第九场

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