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Problem:Portal传送门
原题目描述在最下面。
意思很裸,就是求一个严格意义的次小生成树,树边权和要小于 边权和。
Solution:
本来以为就普通的次小生成树,然后取不等于 的即可,结果样例都过不了!
( : 如果你不会求普通次小生成树,可能看不懂下面这段话,唉)
后来发现这样是错的,这种方法能保证求出非严格次小生成树,仅此而已!其他权值都是无意义的。因为普通方法使用 中 路径上最大的边权和 交换,若两者边权相等,这样的答案是不满足要求的,最重要的是你漏解了!
Kruskal+倍增:
这是一种比较好写的正解。
为解决上面的问题,用倍增来维护 上每个点往上的最大边权 和严格次大边权 。
枚举不在 中的边,求 的 , 。再求出 和 上的不等于 的最大边权。
若 , 则用 交换 ;反之用 交换 。
( 是不在生成树中的边的端点和权值)
具体细节看代码吧,不懂的可以评论区留言。
AC_Code:
/*
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <ctime>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MXN = 1e5 + 5;
const int MXE = 6e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
LL dis[MXN], dis1[MXN][23], dis2[MXN][23];
int dep[MXN], up[MXN][23];
int FA[MXN], rk[MXN];
int head[MXN], tot;
struct lp{
int v, w, nex;
}cw[MXE];
struct EDGE{
int u, v, w, is;
}edge[MXE];
bool cmp(const EDGE& a, const EDGE& b) {
return a.w < b.w;
}
void init() {
tot = -1;
memset(up, 0, sizeof(up));
memset(head, -1, sizeof(head));
memset(dis, 0, sizeof(dis));
memset(dis1, -1, sizeof(dis1));
memset(dis2, 0, sizeof(dis2));
memset(dep, 0, sizeof(dep));
}
void add(int u,int v,int w) {
cw[++tot].v = v; cw[tot].nex = head[u]; cw[tot].w = w;
head[u] = tot;
cw[++tot].v = u; cw[tot].nex = head[v]; cw[tot].w = w;
head[v] = tot;
}
void dfs(int u, int ba, int d) {
dep[u] = d; up[u][0] = ba;
for(int i = 1; i < 20; ++i) {
int cf = up[u][i-1];
up[u][i] = up[cf][i-1];
dis1[u][i] = max(dis1[u][i-1], dis1[cf][i-1]);
if(dis1[u][i-1] == dis1[cf][i-1]) dis2[u][i] = max(dis2[u][i-1], dis2[cf][i-1]);
else {
dis2[u][i] = min(dis1[u][i-1], dis1[cf][i-1]);
dis2[u][i] = max(dis2[u][i], max(dis2[u][i-1], dis2[cf][i-1]));
}
}
for(int i = head[u]; ~i; i = cw[i].nex) {
int v = cw[i].v;
if(v == ba) continue;
dis[v] = dis[u] + cw[i].w;
dis1[v][0] = cw[i].w;
up[v][0] = u;
dfs(v, u, d + 1);
}
}
int LCA(int x, int y) {
if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
for(int i = 19; i >= 0; --i) {
if(dep[up[x][i]] >= dep[y]) {
x = up[x][i];
}
}
if(x == y) return x;
for(int i = 19; i >= 0; --i) {
if(up[x][i] != up[y][i]) {
x = up[x][i]; y = up[y][i];
}
}
return up[x][0];
}
int Fi(int x) {
return FA[x] == x? x: FA[x] = Fi(FA[x]);
}
LL calc(int u, int v,int w) {
if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
int k = dep[u] - dep[v];
LL mx1 = 0, mx2 = 0;
for(int i = 0; i < 20; ++i) {
if((1<<i)&k) {
if(dis1[u][i] > mx1) {
mx2 = mx1;
mx1 = dis1[u][i];
}
mx2 = max(mx2, dis2[u][i]);
u = up[u][i];
}
}
if(mx1 != w) return w - mx1;
return w - mx2;
}
void solve() {
scanf("%d%d", &n, &m);
init();
for(int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
edge[i].is = 0;
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) FA[i] = i, rk[i] = 1;
sort(edge, edge + m, cmp);
int cnt = 0;
LL MAX = 0;
for(int i = 0; i < m; ++i) {
int pa = Fi(edge[i].u), pb = Fi(edge[i].v);
if(pa == pb) continue;
if(rk[pa] > rk[pb]) swap(pa,pb);
FA[pa] = pb;
rk[pb] += rk[pa];
add(edge[i].u, edge[i].v,edge[i].w);
MAX += edge[i].w;
cnt ++;
edge[i].is = 1;
if(cnt == n-1) break;
}
//printf("*** %d\n", MAX);
up[1][0] = 1;
dis1[1][0] = 0;
dfs(1, 1, 1);
LL tmp = 1e18;
for(int i = 0; i < m; ++i) {
if(edge[i].is) continue;
int cf = LCA(edge[i].u,edge[i].v);
tmp = min(tmp, calc(edge[i].u,cf,edge[i].w));
tmp = min(tmp, calc(edge[i].v,cf,edge[i].w));
//printf("tmp = %d\n", tmp);
}
printf("%lld\n", MAX + tmp);
}
int main(int argc, char const *argv[]){
solve();
return 0;
}