\(Solution:\)
看到标题，想到\(MST\)
我们再考虑次小生成树，在原来的\(MST\)加上一条非树边\((u,v)\)，会跟原本\(MST\)上连接\((u,v)\)的路径形成一个环
这启发我们考虑在环上寻找次小值
我们维护一个\(DP\)数组\(g[i][j][0/1]\)表示\(i\)到\(i\)的\(2^j\)倍祖先路径上的最小，次小值，有状态转移方程：
\(g[i][j][0]=max(g[f[i][j-1]][j-1][0],g[i][j-1][0])\)
\[g[i][j][1]= \begin{cases} max(g[f[i][j-1]][j-1][1],g[i][j-1][1])& \text{g[i][j-1][0]==g[f[i][j-1]][j-1][0]}\\ max(g[f[i][j-1]][j-1][1],g[i][j-1][0])& \text{g[i][j-1][0]<g[f[i][j-1]][j-1][0]}\\ max(g[f[i][j-1]][j-1][0],g[i][j-1][1])& \text{g[i][j-1][0]>g[f[i][j-1]][j-1][0]} \end{cases}\]
每次我们枚举一条非树边\((u,v)\)，令\(LCA=lca(u,v)\)，用倍增查询\(u\)到\(LCA\)，\(v\)到\(LCA\)的次小值，即为我们所查询的环上的最小值
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=1e17;
ll n,m,u,v,w,cnt,head[1000050],f[1000050][30],g[1000050][30][2],dep[1000050],fa[1000050],vis[2000050],ans;
struct edge
{
ll to,nxt,w;
}e[1000050];
struct Edge
{
ll u,v,w;
}ed[1000050];
bool operator<(Edge a,Edge b)
{
return a.w<b.w;
}
inline ll find(ll x)
{
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
void add(ll u,ll v,ll w)
{
cnt++;
e[cnt].to=v;
e[cnt].nxt=head[u];
e[cnt].w=w;
head[u]=cnt;
}
void dfs(ll u,ll fa)
{
dep[u]=dep[fa]+1;
f[u][0]=fa;
for(ll i=head[u];i;i=e[i].nxt)
{
ll v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
f[v][0]=u;
g[v][0][0]=e[i].w;
g[v][0][1]=-INF;
dfs(v,u);
}
}
ll lca(ll x,ll y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(ll i=20;i>=0;i--)
{
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
if(x==y) return x;
}
for(ll i=20;i>=0;i--)
{
if(f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
ll up(ll u,ll v,ll w)
{
ll res=-INF;
for(ll i=20;i>=0;i--)
{
if(dep[f[u][i]]>=dep[v])
{
if(w==g[u][i][0]) res=max(res,g[u][i][1]);
else res=max(res,g[u][i][0]);
u=f[u][i];
}
}
return res;
}
ll work(ll i)
{
ll u=ed[i].u,v=ed[i].v,rt=lca(u,v);
ll tmp1=up(u,rt,ed[i].w),tmp2=up(v,rt,ed[i].w);
return ed[i].w-max(tmp1,tmp2);
}
int main(void)
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
ll u,v,w;
scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
ed[i].u=u,ed[i].v=v,ed[i].w=w;
}
sort(ed+1,ed+m+1);
for(ll i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
ll tmp=0;
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
ll a=ed[i].u,b=ed[i].v;
ll fx=find(a),fy=find(b);
if(fx==fy) continue;
fa[fx]=fy;
vis[i]=1;
ans+=ed[i].w,tmp++;
add(a,b,ed[i].w);
add(b,a,ed[i].w);
if(tmp==n-1) break;
}
dfs(1,0);
g[1][0][1]=-INF;
for(ll j=1;j<=20;j++)
{
for(ll i=1;i<=n;i++)
{
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
g[i][j][0]=max(g[f[i][j-1]][j-1][0],g[i][j-1][0]);
if(g[i][j-1][0]==g[f[i][j-1]][j-1][0]) g[i][j][1]=max(g[f[i][j-1]][j-1][1],g[i][j-1][1]);
else if(g[i][j-1][0]<g[f[i][j-1]][j-1][0]) g[i][j][1]=max(g[f[i][j-1]][j-1][1],g[i][j-1][0]);
else g[i][j][1]=max(g[f[i][j-1]][j-1][0],g[i][j-1][1]);
}
}
ll haha=INF;
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
if(!vis[i])
{
haha=min(haha,ans+work(i));
}
}
printf("%lld\n",haha);
return 0;
}