POJ 1769 - Minimizing maximizer（线段树优化DP）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/POJ-1769

【题意】
有总长为 $n$ 的区间 $[1,n]$，还有 $m$ 个小区间 $[x_i,y_i] \ (1<=x_i<=y_i<=n)$ 现在要求从这 $m$ 个区间中挑出若干个区间，使得挑选出的区间完全覆盖 $[1,n]$ ，问最少需要挑出几个小区间，保证有解. ( $n<=5×10^4,m<=5×10^5$)

【思路】
设 $dp[i][j]$ 表示从前 $i$ 个区间挑选若干个来完全覆盖 $[1,j]$ 所需要的最少区间数，有状态转移 $dp[i+1][j]= \begin{cases} dp[i][j] \ (j!=y_i) \\ min\{dp[i][j],dp[i][j']+1|j' \in [x_i,y_i]\} \ (j=y_i) \end{cases}$ 递推边界 $dp[0][1]=0,dp[0][j]=inf(j>1)$
观察可以发现，计算 $dp[i+1]$ 时完全依赖于 $dp[i]$ 的结果，所以可以省去第一个状态，把这个 $dp$ 变成一维数组，这样对于某个区间 $[x_i,y_i]$ $dp[y_i]=min \{ dp[y_i],dp[j]+1|j \in [x_i,y_i] \}$ 就可以用线段树维护最小值了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define node tree[id]
#define lson tree[id<<1]
#define rson tree[id<<1|1]
using namespace std;

const int inf=2e9;
const int maxn=50005;
const int maxm=500005;

struct Tree{
	int left,right;
	int minv;
}tree[maxn<<2];

int n,m;
int x[maxm],y[maxm];
int dp[maxn];

void pushup(int id){node.minv=min(lson.minv,rson.minv);}

void build(int id,int le,int ri){
	node.left=le;
	node.right=ri;
	if(le==ri){
		node.minv=dp[le];
		return;
	}
	int mid=(le+ri)>>1;
	build(id<<1,le,mid);
	build(id<<1|1,mid+1,ri);
	pushup(id);
}

void update(int id,int pos,int val){
	if(node.left==node.right){
		node.minv=val;
		return;
	}
	int mid=(node.left+node.right)>>1;
	if(pos<=mid) update(id<<1,pos,val);
	else update(id<<1|1,pos,val);
	pushup(id);
}

int query(int id,int le,int ri){
	if(node.left==le && node.right==ri){
		return node.minv;
	}
	int mid=(node.left+node.right)>>1;
	if(ri<=mid) return query(id<<1,le,ri);
	else if(le>mid) return query(id<<1|1,le,ri);
	else{
		return min(query(id<<1,le,mid),query(id<<1|1,mid+1,ri));
	}
}

int main(){
	while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){
		for(int i=0;i<m;++i) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
		dp[1]=0;
		for(int i=2;i<=n;++i) dp[i]=inf;
		build(1,1,n);
		for(int i=0;i<m;++i){
			int val=query(1,x[i],y[i]);
			dp[y[i]]=min(dp[y[i]],val+1);
			update(1,y[i],dp[y[i]]);
		}
		printf("%d\n",dp[n]);
	}
	return 0;
}