算法学习——最大子列和问题

参考视频：中国大学mooc——浙江大学——数据结构——陈越、何钦铭

问题描述：
求取数组中最大连续子序列和，例如给定数组为A={1， 3， -2， 4， -5}，则最大连续子序列和为6，即1+3+（-2）+ 4 = 6。

算法一

int MaxSubseqSum1( int A[], int N ){
	 int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i, j, k;
	for( i = 0; i < N; i++ ) { /* i是子列左端位置 */
		for( j = i; j < N; j++ ) { /* j是子列右端位置 */
			ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
			for( k = i; k <= j; k++ ) 		ThisSum += A[k];
			if( ThisSum > MaxSum ) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */
			MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */
			} /* j循环结束 */
		} /* i循环结束 */
return MaxSum;
}

**时间复杂度： T( N ) = O（N3）**

算法2

int MaxSubseqSum1( int A[], int N ){
	 int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i, j, k;
	for( i = 0; i < N; i++ ) { /* i是子列左端位置 */
			ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
		for( j = i; j < N; j++ ) { /* j是子列右端位置 */
			
			ThisSum += A[k];
			/*对于相同的i，不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项即可*/
			
			if( ThisSum > MaxSum ) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */
			MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */
			} /* j循环结束 */
		} /* i循环结束 */
return MaxSum;
}

**时间复杂度：T( N ) = O( N2）**

算法3

在这里插入图片描述

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}
 
int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/
 
    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;
 
    if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }
 
    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );
 
    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */
 
    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */
 
    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
 
int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

算法4
时间复杂度的直观反映：运行时间比较

在这里插入图片描述

算法学习——最大子列和问题

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