Contest1536 - 2018年第四阶段组队训练赛二十四场G区间权值

问题 G: 区间权值

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题目描述

小Bo有n个正整数a1..an，以及一个权值序列w1…wn，现在他定义
现在他想知道的值，需要你来帮帮他
你只需要输出答案对109+7取模后的值

输入

第一行一个正整数n
第二行n个正整数a1..an
第三行n个正整数w1..wn
1≤n≤3×105
1≤ai≤107
1≤wi≤107

输出

输出答案对109+7取模后的值

样例输入

3
1 1 1
1 1 1

样例输出

直接写肯定是三层for，超时么诶跑，

因为前缀和很熟悉了，所以直接去掉一层，也就是 $\sum_{i=l}^{r}a[i] = sum[r]-sum[l-1]$

但是还是两层的for，O（N^2），这肯定也不行，

先写个暴力看下，注意输入的时候，将a[i] = a[i] + a[i-1]，就将a数组直接变成了前缀和sum数组

for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=i; j<=n; j++)
        ans1 = (ans1 + (a[j]-a[i-1]+p)%p*w[j-i+1]%p)%p;

以我对这个的理解就把他等价成了下面这个，就是从暴力点变成了暴力区间长度

for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=0; j<=n-i; j++)
        ans2 = (ans2 + w[i]*(a[j+i]-a[j]+p)%p)%p;

那么明显可以这样

提出公因式w[i]，然后将中间的求和即可

那么注意观察，中间的项

例如

$w[2]*((a[2]-a[0])+(a[3]-a[1])+(a[4]-a[2])+(a[5]-a[3])******)$

注意中间有些项抵消了，那么我们需要的就只是前面和后面的某些项就可以了，

例如上面那个就是

$w[2]*((a[5]+a[4])-(a[0]-a[1]))$

显然又需要前缀和来求区间和，那么用另一个数组存输入的前缀和的前缀和就好了

代码A了，但是还有些小问题，就是本来应该对称的，但是不知道为什么在i小于n/2的时候有些前缀和是不对的

所以我一律采用后半段计算的前缀和，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
const int maxn = 3e5+7,p = 1e9+7;
ll a[maxn],b[maxn],w[maxn];
int main()
{
    cin>>n;
    //while(cin>>n)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%lld",&a[i]);
            a[i] = (a[i] + a[i-1])%p;
            b[i] = (a[i] + b[i-1])%p;
        }
 
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%lld",&w[i]);
        ll ans1 = 0, ans2 = 0,ans3 = 0;
        /*for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=i; j<=n; j++)
            {
                ans1 = (ans1 + (a[j]-a[i-1]+p)%p*w[j-i+1]%p)%p;
            }
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            ll t = 0;
            for(int j=0; j<=n-i; j++)
            {
                ll c = w[i]*(a[j+i]-a[j]+p)%p;
                ans2 = (ans2 + c)%p;
                t = (t+c)%p;
                //if(i==3)
                    //printf("%d->%d----%lld\n",j,j+i,c);
            }
            printf("%d---%lld\n",i,t/w[i]);
        }*/
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int ti = i<=n/2?n-i+1:i;
            ll t = ((b[n] - b[n/ti*ti-1]+p)%p - b[n%ti] +p )%p*w[i]%p;
            //printf("%d--%lld\n",i,t/w[i]);
            ans3 = (ans3 + t)%p;
        }
        printf("%lld\n",ans3);
    }
    return 0;
}
/*
7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1->3----18
2->4----27
3->5----36
4->6----45
5->7----54
1--28
2--96
3--144
4--256
5--300
6--288
7--196
1344 1344 1308
 
*/
/*
8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1---36
2---126
3---243
4---360
5---450
6---486
7---441
8---288
1--36
2--72
3--243
4--144
5--450
6--486
7--441
8--288
2430 2430 2160
 
*/

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问题 G: 区间权值

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