dp Code QBXT Test Ⅲ T2

题意：有多少个 $N *M$ 的矩阵满足：其所有数字都是 $K$ 位 $2$ 进制数，且每一行每一列的或都是 $2^K-1$。

首先对于二进制的题很大一部分是逐位处理，因为各二进制位之间互不影响，首先我们注意到 $K$ 是没有意义的， 我们只要求出 $N * M$的 $0-1$ 矩阵有多少种方案使得每行每列的或都是 $1$即可，记这个答案为 $ans'$的话， 最后答案即为 $ans=ans'^K$。

我们设 $dp[i][ j]$表示前 $i$ 行有 $j$ 列或为 $1$，那么 $dp[i][ j]$转移到下一行时， 能转移到 $dp[i+1][k]\ ,\ (k≥j)$

当 $k=j$ 时， 意味着在 $i+1$行上所有前 $i$行为 $0$位置是 $0$， 否则一定会出现新的列或为 $1$，而第 $i+1$行剩下 $j$列可以随便放，但要注意不能全放 $0$，排除这种情况，方程即为 $dp[i+1][ j]+=dp[i][j]*(2^j-1)$。

当 $k>j$ 时， 意味着 $i+1$行在前 $i$行为 $0$的位置上有 $k-j$列是1，此时第 $i +1$行剩下 $j$列可以随便放（剩下 $j$列全是 $0$也可以）， 方程 $为dp[i+1][k]+=dp[i][j]*2^j*C^{m-j}_{k-j}$。预处理组合数和 $2$的 $i$次幂，最后用快速幂即可。

$dp$的初值就是在第一行时从 $m$列中选 $i$位为 $1$的方案数即 $dp[1][i]=C^m_i$

```#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m,kk,t;
ll c[55][55],dp[55][55],pow_2[55];
ll ksm(ll q,ll w)
{
	ll h=1;
	while(w)
	{
		if(w&1)
			h=h*q%mod;
		q=q*q%mod;
		w>>=1;
	}
	return h;
}
int main()
{
	cin>>t;
	pow_2[0]=1;
	for(int i=1;i<=50;++i)
		pow_2[i]=(pow_2[i-1]%mod*2%mod)%mod;
	for(int i=1;i<=50;++i)
	{
		c[i][i]=1;
		c[i][0]=1;
	}
	for(int i=1;i<=50;++i)
		for(int j=i+1;j<=50;++j)
			c[j][i]=(c[j-1][i]%mod+c[j-1][i-1]%mod)%mod;
	while(t--)
	{
		cin>>n>>m>>kk;		
		memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<=m;i++)
            dp[1][i]=c[m][i];
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=m;++j)
			{
				dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]%mod+(dp[i][j]%mod*(pow_2[j]-1)%mod)%mod)%mod;
				for(int k=j+1;k<=m;++k)
					dp[i+1][k]=(dp[i+1][k]%mod+(dp[i][j]%mod*c[m-j][k-j]%mod*pow_2[j]%mod)%mod)%mod;
			}
		cout<<ksm(dp[n][m],kk)<<endl;		
	}
	return 0;
}