图像的缩放变换

在日常工作中，我们经常需要对图像进行缩放（放大、缩小），旋转、平移等各种操作，这类操作统称为图像的几何变换。相对于前面提到的灰度变换，几何变换是改变了原图像像素点在新图像中的空间位置。

我们首先来看看图像缩放操作。假设一幅图像是100×100像素大小，放大一倍后是200×200大小。图像中的每一个像素点位置可以看作是一个点，也可以看作是二维平面上的一个矢量。图像缩放，本质上就是将每个像素点的矢量进行缩放，也就是将矢量x方向和y方向的坐标值缩放。也就是[x, y]变成了 $[k_x \cdot x,k_y\cdot y]$ ，一般情况下 $k_x=k_y$ ，但是很多时候也不相同，例如将100×100的图像变成400×300的图像。学过线性代数的同学很快就能知道，这可以表示成矩阵乘法的形式：

\begin{matrix} (5) & [\begin{array}{ccc} u \\ v \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{x} & 0 \\ 0 & k_{y} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x \\ y \end{array}] \end{matrix}

$\begin{equation} {\left[ \begin{array}{ccc} u\\ v\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} k_x & 0 \\ 0 & k_y\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x\\ y\\ \end{array} \right ]} \end{equation}$

通过上述矩阵乘法的形式，我们就把原图像上的每一个像素点映射到新图像上相应的像素点了，这称为前向映射。

但是，我们很快注意到，原始图像有100×100=10000个像素点，而变换后的图像是200×200=40000个像素点。纵使把原始图像的10000个像素点全部映射到新图像上的对应点上，新图像上仍然有40000-10000=30000个点没有与原图像进行对应，那这30000个像素点的灰度值从何而来呢？

我们把上面的矩阵表达式稍微转换下，两边乘以放大矩阵的逆矩阵：

\begin{matrix} (6) & {[\begin{array}{ccc} k_{x} & 0 \\ 0 & k_{y} \end{array}]}^{- 1} [\begin{array}{ccc} u \\ v \end{array}] = [\begin{array}{ccc} x \\ y \end{array}] \end{matrix}

$\begin{equation} { \left[ \begin{array}{ccc} k_x & 0 \\ 0 & k_y\\ \end{array} \right ] }^{-1}{\left[ \begin{array}{ccc} u\\ v\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} x \\ y\\ \end{array} \right ]} \end{equation}$
通过上面的式子，我们可以将新图像中的每一个像素点[u, v]与原图像中的一个像素点[x, y]对应起来了。这称为 后向映射。显然后向映射比前向映射更有效。

import cv2
import numpy as np

lenna100 = cv2.imread("lenna100.png", 0)
row, col = lenna100.shape
kx, ky = 2, 2
A = np.mat([[kx, 0], [0, ky]])
lenna200 = np.zeros((kx * row, ky * col))

for r in range(kx * row):
    for l in range(ky * col):
        v = np.dot(A.I, np.array([r, l]).T)
        lenna200[r, l] = lenna100[int(v[0, 0]), int(v[0, 1])]

cv2.imshow("lenna100", lenna100)
cv2.imshow("lenna200", lenna200.astype("uint8"))
cv2.waitKey()

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